Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 2

DETERMINANTES

Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .

É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .

Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
det (A) = ½ A½ = ad – bc

Exemplo:

Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen²x + cos²x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à unidade.

Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).

SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 – 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.

Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof. SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais simplesmente apenas citam) o nome do professor, na forma REGRA DE SARRUS, para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José Porto da Silveira – da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina Cálculo III, quando chegarem à Universidade.

Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:

1 – Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.

2 – Efetue os produtos em “diagonal” , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.

3 – Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.

Exemplo:

.2				3				5
.1				7				4

Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .– 77.

Principais propriedades dos determinantes

P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.

P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( A^t ).

P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.

P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.

P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.

P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.

P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.

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P8) determinante da matriz inversa : det( A^-1)= 1/det(A) .

Se A^-1 é a matriz inversa de A , então A . A^-1 = A^-1 . A = I_n , onde I_n é a matriz identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que det(A.A^-1) = det(I_n) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A^-1) = 1 ;
logo , concluímos que: det(A^-1) = 1 / det(A).

Notas:

1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A^-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .

2) se det A ¹ 0 , então a matriz inversa A^-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .

P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.

P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k Î R então det(k.A) = kⁿ . det A

Exemplos:

1) Qual o determinante associado à matriz?

Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.

2) Calcule o determinante:

Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA Þ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.

3) Calcule o determinante:

Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90

Exercícios propostos:

1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde A^t é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:

*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20

2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ¹ j .
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:
Resposta: n = 4

3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )_{3 X 3} , onde aij = i + j se i ³ j ou aij = i – j se i < j.
Qual o determinante de A?
Resposta: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82

4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i – j então podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a:
Resposta: zero

Matrizes e Determinantes II

1 – Definições: Continua na parte 3

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