Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto Parte 5

Duplicatas

Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.

Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.

Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.

Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de $50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determinado banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de 1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.

SOLUÇÃO:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000
IOF = 50000(0,015/360).90] = 187,50

Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 – (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) – 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60 % a.m.
Resp: V = $42812,50 e i = 5,60 % a.m.

Exercícios propostos:

1 – Um título de $5000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros é de 3% a.m. , pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.

Resp: desconto = $300,00 e valor descontado = $4700,00

2 – Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a . a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para uma duplicata de valor nominal $50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento, pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação.

Resp: 6,06% a.m.

Desconto Composto

sobre Matemática Financeira por Edison Andrade de Souza

Desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. São conhecidos dois tipos de descontos: o desconto composto “por fora” e o desconto composto “por dentro”, ou racional. O desconto composto “por fora”, não possui, pelo menos no Brasil, nenhuma utilização prática conhecida. Quanto ao desconto “por dentro” ou racional, ele nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, determinado com base no regime de capitalização composta; portanto de aplicação generalizada.

Desconto Composto “Por Fora”

No caso do desconto simples “por fora”, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dos títulos, tantas vezes, quantos forem os períodos unitários, ou seja, D = S x d x n. Como P = S – D, deduz-se que P = S.(1 – d x n).

Já no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre o valor do título; no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor de desconto correspondente ao primeiro período; no terceiro período sobre o valor futuro do título menos os valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente até o enésimo período, de forma que:

P1 = S – D   ou  P = S(1 – d)
P2 = S(1-d)(1-d) = S(1-d)²
P3 = S(1-d)(1-d)(1-d)= S(1-d)³
.     .
.     .
Pn = S (1-d)ⁿ

Assim o valor líquido de um título, de prazo igual a n períodos unitários que sofre um desconto composto “por fora”, é dado pela expressão:

P = S(1-d)ⁿ

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Exemplos:

1 – Uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto “por fora”. Calcular o valor do desconto.

Dados:
S = 28.800,00
n = 120 dias = 4 meses
d = 2,5% ao mês
D = ?

Solução:

P = S(1-d)ⁿ
P = 28.800,00(1-0,025)⁴ = 28.800,00 x 0,903688 = 26.026,21
D = S – P = 28.800,00 – 26.026,21 = 2.773,79
HP12C = 28.800,00 E 2,5 E 100 : 1 – 4 Y^X X 28.800,00 – = 2,773,79

2 – Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título.

Dados:
D = 1.379,77
d = 3% ao mês
n = 90 dias ou 3 meses
S = ?

Solução:
D = S – P = S – S(1-d)ⁿ = S [1-(1-d)ⁿ]
D = S [1-(1-d)ⁿ]
1.379,77 = S [ 1 – (1 – 0,03)3]
1.379,77 = S [ 1 – 0,912673]
1.379,77 = S x 0,087327
S = 1.379,77/0,087327 = 15.800,00

HP12C = 1E 0,03–3 Y^X 1– CHS 1/x 1.379,77 X = 15.800,00

Desconto “Por Dentro ” ou Racional

Desconto “por dentro” ou racional, é dado pela diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, calculado com base no regime de capitalização composta, como segue:

Para manter a coerência no que se refere a simbologia adotada, vamos continuar a representar a taxa de desconto por d . Assim a fórmula anterior pode ser escrita como segue:

Exemplo:

1 – Determinar o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5% ao mês.

Dados:
S = 50.000,00
n = 5 meses
d = 3,5% ao mês
D = ?

Solução:

D = S x (1 + d)ⁿ– 1/(1+d)ⁿ
D = 50.000,00 X (1 + 0,035)⁵-1/(1 + 0,035)⁵
D = 50.000,00 X (1,035)5-1/(1,035)5
D = 50.000,00 X 0,18769/1,18769 = 50.000,00 X 0,15803
D = 7.901,50