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Raciocínio lógico: Interpretação de informações de natureza matemática e probabilidade.

APOSTILA PARA DEPASA-AC 2019

APOSTILA PARA TJ-AM 2019

APOSTILA PARA MP-SP 2019

APOSTILA PARA PREF. S.J.R.PRETO-SP 2019

APOSTILA PARA PREF.GUARULHOS-SP 2019

SAIBA POR QUE INDICO AS APOSTILAS OPÇÃO

Tem muito pouco sobre interpretações de informações de natureza matemática na internet., então coloquei duas videoaulas abaixo que fala um pouco sobre isso e probabilidade. Depois destas videoaulas começa a parte teórica de probabilidades e no final da postagem tem mais uma vIdeoaula. A interpretação de informação de natureza matemática é básica para qualquer solução de problemas. Saber interpretar o que esta pedindo é 90% do problema resolvido. Não esqueça de dar uma olhadinha no meu livro de aventura A Fortaleza do Centro. Coloquei o e-book no Amazon e dá para você ler os 3 primeiros capítulos.

A Fortaleza do Centro

Bons estudos!

Os vídeos abaixo fala um pouco sobre isto e probabilidade.

PROBABILIDADE:

estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos.

Ao começarmos o estudo da probabilidade, normalmente a primeira ideia que nos vem à mente é a da sua utilização em jogos, mas podemos utilizá-lo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na área comercial, onde um site de comércio eletrônico pode dela se utilizar, para prever a possibilidade de fraude por parte de um possível comprador.

Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns conceitos importantes sobre a matéria.

Experimento Aleatório

Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa.

Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de possibilidades de resultado.

A experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em condições semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios.

Espaço Amostral

Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara, ou será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, ao conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço amostral, pois ele é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento.

Representamos um espaço amostral, ou espaço amostral universal como também é chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por:

S = { cara, coroa }

Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o espaço amostral será:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Evento

Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.

Em relação ao espaço amostral do lançamento de um dado, veja o conjunto a seguir:

A = { 2, 3, 5 }

Note que  ( A está contido em S, A é um subconjunto de S ). O conjunto A é a representação do evento do lançamento de um dado, quando temos a face para cima igual a um número primo.

Classificação de Eventos

Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles:

Evento Simples

Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral.

A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por 5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5.

Evento Certo

Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um número divisor de 720. Este é um evento certo, pois 720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente qualquer um dos números da face de um dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos eles.

O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Evento Impossível

No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15?

Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze. Podemos representá-lo por , ou ainda por A = {}.

Evento União

Seja A = { 1, 3 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, ímpar e menor ou igual a 3 e B = { 3, 5 }, o evento de ocorrência da face superior, ímpar e maior ou igual a 3, então C = { 1, 3, 5 }representa o evento de ocorrência da face superior ímpar, que é a união dos conjuntos A e B, ou seja, .

Note que o evento C contém todos os elementos de A e B.

Evento Intersecção

Seja A = { 2, 4 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4 e B = { 4, 6 }, o evento de ocorrência da face superior, par e maior ou igual a 4, então C = { 4 } representa o evento de ocorrência da face superior par, que é a intersecção dos conjuntos A e B, ou seja, .

Veja que o evento C contém apenas os elementos comuns a A e B.

Eventos Mutuamente exclusivos

Seja A = { 1, 2, 3, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número divisor de 6 e B = { 5 }, o evento de ocorrência da face superior, um divisor de 5, os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois , isto é, os eventos não possuem elementos em comum.

Evento Complementar

Seja A = { 1, 3, 5 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é A = { 2, 4, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número par.

Os elementos de A são todos os elementos do espaço amostral S que não estão contidos em A, então temos que A = S – A e ainda que S = A + A.

Probabilidade de Ocorrência de um Evento

Os três irmãos Pedro, João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que as condições de retorno para casa são as mesmas para cada um deles, qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro?

Como 3 é o número total de irmãos, então Luís tem 1 chance em 3 de voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Luís voltar para casa antes dos seus irmãos é igual a 1/3.

Definição

probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço amostral(Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que espaço o amostral seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos).

Sendo E um evento, n(E) o seu número de elementos, S o espaço amostral não vazio e n(S) a quantidade de elementos do mesmo, temos que a probabilidade de E ocorrer é igual a:

, sendo n(S)≠0.

A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que significa que no mínimo não a nenhuma hipótese do evento acontecer e no máximo o evento sempre ocorrerá:

10 DICAS DE COMO ESTUDAR E APRENDER

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0 ≤ P(E) ≤ 1

Normalmente representamos probabilidades através de frações, mas também podemos representá-las por números decimais, ou até mesmo por porcentagens.

Exemplos

EnunciadoUm dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6?

Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento E é representado por:

E = { 1, 2, 3, 6 }

Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:

Podemos também apresentar o resultado na forma de uma porcentagem:

RespostaA probabilidade de se obter um número divisor de 6 é 2/3 ou 66,67%.

EnunciadoUma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos ao menos uma coroa?

Recorrendo ao princípio fundamental da contagem podemos calcular o número de elementos do espaço amostral deste exemplo:

n(S) = 2 . 2 . 2 . 2 = 16

Agora precisamos saber o número de elementos do evento E, referente a quatro lançamentos de uma moeda, quando obtemos ao menos uma coroa.

Lembra-se do evento complementar explicado acima? Sabendo quantos são os resultados que não apresentam nenhuma coroa, ele nos permite descobrir o número dos que possuem ao menos uma.

E quantos são os eventos que não possuem nenhuma coroa? Apenas o evento E = { cara, cara, cara, cara }, ou seja, apenas 1. Como o número total de eventos é 16 e 1 deles não apresenta qualquer coroa, então os outros15 apresentam ao menos uma. Então:

Na forma de porcentagem temos:

RespostaA probabilidade de obtermos ao menos uma coroa é 15/16, 0,9375 ou 93,75%.

Tenho uma postagem anterior que vale uma conferida: Probabilidade básica.

Abaixo um texto retirado do site UOL educação:

Probabilidade

Fórmula mostra a chance de algo ocorrer

A teoria da probabilidade estuda a “chances” de um determinado resultado acontecer. O exemplo torna isso mais claro:

Qual a probabilidade de se retirar uma carta qualquer de um baralho de 52 cartas e obter:

a) uma carta de paus?

b) depois de retirar esta carta, qual a probabilidade de se retirar um ás de copas?

Veja a fórmula:

Página 3

em que p é o resultado da probabilidade de que algo aconteça, na é o número de casos favoráveis, ou de elementos de uma amostra que você procura (no nosso caso, as cartas de paus), e n é o número de elementos totais, de todos os casos prováveis (no nosso caso, o total de cartas do baralho).

Ao exemplo:

a) para se retirar uma carta de paus:

Em um baralho de 52 cartas existem 13 cartas de paus, logo:

Página 3

A chance de você ter uma carta de paus, se pegar aleatoriamente qualquer carta do baralho, é de 1 entre 4, ou seja 25%.

b) Continuando o exemplo: você já retirou uma carta, e agora quer saber qual a chance de a próxima carta que você retirar ser um ás de copas. Agora, então, o seu universo de total de cartas diminuiu. Você não tem mais 52 cartas, mas tem 51. No numerador da fração, você colocará o número 1, já que só há uma carta de ás de copas no baralho – apenas um “evento favorável”, ou elemento que você procura.

Página 3

Isso não significa que, como no exemplo, a cada 4 cartas tiradas uma seja de paus (lembre-se de devolver a carta após cada retirada). Isso significa que se você tirar muitas vezes a tendência é de que de 25% das cartas retiradas sejam de paus.

Isto é, a tendência ou chances de acontecer é de 25%.

Chances nulas e todas as chances

As probabilidades se encontram entre 0 (nenhuma chance de algo acontecer), e 1 (com certeza acontecerá). No caso do baralho, por exemplo, em que você procurava uma carta de paus, sua chance era de 0,25. Em outros casos de probabilidade, sua chance pode ser 0 ou 1.

Qual é a probabilidade de se ganhar na mega-sena se você não jogar? Zero.

E qual a probabilidade de você ganhar um torneio de chute a gol da marca do pênalti, com 10 tentativas sem goleiro? 1.

*Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

Para complementar  o assunto de Princípios de raciocínio lógico recomendo os links abaixo:

Princípios do raciocínio lógico: conectivos lógicos; diagramas lógicos; lógica de argumentação; interpretação de informações de natureza matemática; probabilidade.

Abaixo um vídeo interessante de resolução de exercícios:

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