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Arranjos e permutações

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Arranjos

Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença (p < m). Os arranjos são distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Existem dois tipos:

– Arranjo simples

– Arranjo com repetição

Arranjo simples

No arranjo simples não encontramos a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos. Por exemplo, os números de três algarismos formados pelos elementos (1, 2, 3) são:

312, 321, 132, 123, 213 e 231.

Como pudemos perceber os elementos não se repetem. O arranjo simples tem como fórmula: As (m, p) = m! /(m-p)!

Como cálculo de exemplo podemos utilizar: As(4,2) = 4! /2!=24/2=12.

Arranjos e permutações

Arranjo com repetição

Neste caso de arranjo com repetição todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de elementos. Como cálculo de exemplo podemos utilizar: Ar(4,2) = 42=16

Fórmula do arranjo com repetição: Ar (m, p) = mp

Por exemplo: seja C = (A, B, C, D), m = 4 e p = 2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 formam 16 grupos onde encontramos elementos repetidos em cada grupo, pois todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar = (AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD)

Permutações

Permutações ocorrem quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre si pela ordem.

 

As permutações podem ser de três tipos:

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  • Permutações simples;
  • Permutações com repetição;
  • Permutações circulares.

Permutações simples

São agrupamentos formados com todos os m elementos distintos. Como cálculo de exemplo podemos utilizar: Ps (3) = 3! = 6

Sua formula é: Ps (m) = m!

Deve ser utilizada quando queremos contar quantas possibilidades existem de se organizar um número de objetos de forma distinta.

Por exemplo: Se C = (A, B, C) e m = 3, então as permutações simples desses três elementos são seis agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em casa grupo mas podem aparecer na ordem trocada, isto é:

Ps = (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA)

Permutações com repetição

A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre seus elementos.

Por exemplo: m1 = 4, m2 = 2, m3 = 1 e m = 6, então temos:

r(6) = C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15

Permutações circulares

Permutações circulares são grupos com m elementos diferentes formando uma circunferência de círculo. Sua formula é: Pc (m) = (m-1)!

Como cálculo de exemplo podemos utilizar: P(4) = 3! = 6

Num conjunto de 4 crianças K = (A, B, C, D). De quantos modos diferentes estas crianças poderão sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma brincadeira, sem que haja repetição das posições?

Teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC
ABDC=BDCA=DCAB=CABD
ACBD=CBDA=BDAC=DACB
ACDB=CDBA=DBAC=BACD
ADBC=DBCA=BCAD=CADB
ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Fonte: Estudos Práticos

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