Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais)

Conjunto dos Números Irracionais

Então mais curioso ainda você perguntou: “Se os números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração, então existem aqueles que não podem ser expressos desta forma?”

Exatamente, estes números pertencem ao conjunto dos números irracionais. Provavelmente os mais conhecidos deles sejam o número PI ( ), o número de Euler ( ) e a raiz quadrada de dois ( ). Se você se dispuser a calcular tal raiz, passará o restante da sua existência e jamais conseguirá fazê-lo, isto porque tal número possui infinitas casas decimais e diferentemente das dízimas, elas não são periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta é uma característica dos números irracionais.

A raiz quadrada dos números naturais é uma ótima fonte de números irracionais, de fato a raiz quadrada de qualquer número natural que não seja um quadrado perfeito é um número irracional. é um número irracional, pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não há um número natural que multiplicado por ele mesmo resulte em cento e vinte, já é um número natural, pois .

A letra I ( ) representa o conjunto dos número irracionais.

Utilizando o caractere especial “*”, por exemplo, podemos representar o conjunto dos números irracionais desconsiderando-se o zero por .

O conjunto abaixo é um subconjunto do conjunto dos números irracionais:

Diferentemente do que acontece com os números racionais, a realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois números irracionais quaisquer não terá obrigatoriamente como resultado também um número irracional. O resultado poderá tanto pertencer a , quanto pertencer a .

Conjunto dos Números Reais

Acima vimos que um número natural também é um número inteiro ( ), assim como um número inteiro também é um número racional ( ), portanto .

Vimos também que os números racionais não estão contidos no conjunto dos números irracionais e vice-versa. A intersecção destes conjuntos resulta no conjunto vazio:

A intersecção é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem simultaneamente a todos os conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos e , a intersecção entre estes dois conjuntos será .

O conjunto dos números reais é representado pela letra R ( ) e é formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais, que simbólicamente representamos por: .

A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos envolvidos. Sejam dois conjuntos e , a união entre estes dois conjuntos será .

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O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais ( ), assim como o conjunto dos números irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais ( ).

Através dos caracteres especiais “+” e “*”, por exemplo, podemos representar o conjunto dos números reais positivos por .

Abaixo temos um exemplo de conjunto contendo número reais:

Adição dentro do conjunto dos números Reais, – ½ + ½ = 0  R
Subtração 3,16 – 1,12= 2,2  R
Multiplicação √2 * √2 =  R
Divisão 1/7= 0,428…  R

Conjuntos Numéricos Fundamentais em Diagrama

Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais em um diagrama.

Através deste diagrama podemos facilmente observar que o conjunto dos números reais ( ) é resultado da união do conjunto dos números racionais como o conjunto dos números irracionais ( ). Observamos também que o conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números racionais ( ) e que os números naturais são um subconjunto do números inteiros ( ).

Como podemos ver, os diagramas nos ajudam a trabalhar mais facilmente com conjuntos. Ainda neste diagrama rapidamente identificamos que os números naturais são também números reais ( ), mas não são números irracionais ( ), isto porque o conjunto dos números irracionais não contém o conjunto dos números naturais ( ), mas sim o conjunto números dos racionais que os contém ( ), assim como o conjuntos dos números reais ( ) e dos inteiros ( ).

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