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Definição de polinômios
Classificação quanto ao grau e tipo
Polinômios iguais
Operações com polinômios
Fatoração de polinômios
No final tem duas videoaulas explicando o assunto

Polinômios

Os polinômios são expressões algébricas formadas por monômios, que são formados por números (coeficientes) e letras (partes literais). As letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da expressão. Utilizamos as operações de adição, subtração, multiplicação. O polinômio poderá ter raiz, fração ou potenciação.

Monômios são aquelas expressões com um único produto resultante de uma parte literal e um coeficiente numérico. É o caso de expressões como 2x, 5xy, y/4 ou x², por exemplo.

Binômios, por sua vez, são aqueles polinômios formados por dois monômios distintos, separados por um operador matemático. Alguns exemplos destas expressões são: 2x +xy e 14z – z², por exemplo.

Trinômios, como é de se imaginar, consistem naquelas expressões algébricas com três monômios distintos, separados por operadores matemáticos.

Um polinômio, propriamente dito, é uma expressão algébrica com qualquer quantidade de monômios. Fala-se que um polinômio é uma expressão algébrica de infinitos monômios.

Classificação de polinômios quanto ao grau

O grau de um polinômio é definido pelo grau de elevação da variável com maior valor de elevação daquela expressão. Não é necessário que a expressão seja completa por outros monômios elevados a um grau diferente daquele que nomeia a classificação.

Um polinômio de primeiro grau é aquela em que todas as variáveis são elevadas apenas ao seu primeiro grau. É o caso de uma expressão como:

2x + 4 – y

Um polinômio de 2º grau é aquele em que o monômio com maior grau de elevação é de segundo grau. É o caso do exemplo:

2x + x²

Um polinômio de 3º grau, em que o monômio a ser elevado pelo expoente mais alto possui mais de uma variável. Neste caso, soma-se os expoentes dos monômios, de forma que a expressão torna-se de terceiro grau.

x³ – 4x² + 3x – 4=0

Classificação dos polinômios quanto ao tipo

Há, ainda, dois tipos de polinômios classificados na matemática, divididos entre completos e incompletos. Os polinômios completos são aqueles nos quais a ordem dos expoentes dos polinômios são completos, ou seja, há a ordem decrescente completa dentro daquela expressão algébrica.

É o caso de um exemplo como:

x⁵+ x⁴ – x³ + x² – x

Percebe-se, neste caso, a ordem completa dos expoentes sendo representada na expressão, o que nomeia seu tipo.

Os polinômios incompletos, por sua vez, são aqueles em que, ao contrário do caso anterior, não há a ordem completa decrescente dos expoentes da expressão. Neste caso, seja apenas um expoente ou quase todos que estejam “faltando” na expressão, considera-se ele incompleto.

Polinômios iguais

Dois polinômios podem ser denominados iguais ou idênticos, quando assumem os mesmos valores numéricos para os coeficientes correspondentes. Veja a seguir um exemplo:

Exemplo: Determine os coeficientes do polinômio ay² + by + c , para que ele seja igual ao polinômio y² + 3y + 1.

ay² + by + c = y² + 3y + 1

Para que os polinômios sejam iguais, seus coeficientes devem ser idênticos, sendo assim, os coeficientes do polinômio ay² + by + c, são:

a = 1

b = 3

c = 1

Agora é possível verificar a igualdade entre os dois polinômios

1y² + 3y + 1 = 1y² + 3y + 1

Operações com Polinômios

Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios:

Adição de Polinômios

Fazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes (mesma parte literal).

(- 7x³ + 5 x²y – xy + 4y) + (- 2x²y + 8xy – 7y)
– 7x³+ 5x²y – 2x²y – xy + 8xy + 4y – 7y
– 7x³ + 3x²y + 7xy – 3y

Subtração de Polinômios

O sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos parênteses. Após eliminar os parênteses, devemos juntar os termos semelhantes.

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(4x² – 5ky + 6k) – (3x – 8k)
4x² – 5xk + 6k – 3xk + 8k
4x²– 8xk + 14k

Multiplicação de Polinômios

Na multiplicação devemos multiplicar termo a termo. Na multiplicação de letras iguais, repete-se e soma-se os expoentes.

(3x² – 5x + 8) . (-2x + 1)
-6x³ + 3x² + 10x² – 5x – 16x + 8
-6x³ + 13x² – 21x +8

Divisão de Polinômios

Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes.

Fatoração de Polinômios

Para realizar a fatoração de polinômios temos os seguintes casos:

Fator Comum em Evidência

ax + bx = x (a + b)

Exemplo

4x + 20 = 4 (x + 5)

Agrupamento

ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)

Exemplo

8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito (Adição)

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Exemplo

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença)

a² – 2ab + b² = (a – b)²

Exemplo

x² – 2x + 1 = (x – 1)²

Diferença de Dois Quadrados

(a + b) . (a – b) = a² – b²

Exemplo

x² – 25 = (x + 5) . (x – 5)

Cubo Perfeito (Adição)

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Exemplo

x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3 . x² . 2 + 3 . x . 2² + 2³ = (x + 2)³

Cubo Perfeito (Diferença)

a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

Exemplo

y³ – 9y² + 27y – 27 = y³ – 3 . y² . 3 + 3 . y . 3² – 3³ = (y – 3)³

Fontes: Vou passar, estudo pratico e toda matéria

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