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Linguagem dos conjuntos: Representações de um conjunto, pertinência, inclusão, igualdade, união, interseção e complementação de conjuntos

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Linguagem dos conjuntos

As noções de conjunto e elemento, em matemática, são noções primitivas, isto é, não são definidas. A ideia de conjunto é a mesma de coleção.

Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos do mesmo são representados entre chaves. Assim, teríamos:

O conjunto das letras do nosso alfabeto; L= {a, b, c, d,…, z}.

O conjunto dos dias da semana: S= {segunda, terça,… domingo}.

Representações de um conjunto

Pode ser: Tabular, diagrama de Venn  e por propriedade

Representação Tabular:

Os elementos são apresentados entre chaves e separados por vírgula ou por ponto e vírgula.

Exemplo:

  1. a) A = { a, e, i, o, u }
  2. b) B = {2, 4, 6, 8 }

 

Representação de diagrama de Venn

Os respectivos diagramas consistem de curvas fechadas simples desenhadas sobre um plano, de forma a simbolizar os conjuntos e permitir a representação das relações de pertença entre conjuntos e seus elementos.

Representação por uma propriedade

Os elementos de um conjunto são descritos por meio de uma propriedade que os determina.

Podemos representar um conjunto A por:

A = {x / x tem a propriedade p}

Lê-se: “A é o conjunto de todos os elementos x, tal que x tem a propriedade p}

Exemplo:

A = { x / x é vogal do alfabeto}

B = {números pares} ou, ainda melhor, A = {2n; n inteiro}

Relações:

Relação de pertinência

Imagine um conjunto A cujo seus elementos são os números naturais menores que 10:

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

–> O número natural 3 pertence ao conjunto A;

–> O número natural 35 não pertence ao conjunto B.

Então, a relação entre um elemento e um conjunto é denominado de relação de pertinência.

Para indicar se um elemento pertence a um conjunto, usamos o seguinte símbolo ∈ (lê-se: Pertence), e para indicar se um elemento não pertence a um conjunto, usamos o seguinte símbolo ∉ (lê-se: Não Pertence).

–> 3 ∈ A (3 pertence a A)

–> 35 ∉ A (35 não pertence a A)

Outro exemplo:

Dado o conjunto A = {-8, -4, -2, 0, 1, 2, 3}, podemos dizer que – 4 ∈ A ( – 4 pertence a A) e que 5 ∉ A ( 5 não pertence a A)

 

Relação de inclusão

Relação de inclusão é quando todos os elementos de um determinado conjunto pertencem ou não a um outro conjunto. Essa relação é indicada  pelos seguintes símbolos:

⊂ → lê-se: está contido

⊃ → lê-se: contém

⊄ → lê-se: não está contido

⊅ → lê-se: não contém

Para entendermos melhor, darei alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo 01

Considere os conjuntos abaixo:

A = {1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

temos:

1 ∈ A    e    1 ∈ B

2 ∈ A    e   2 ∈ B

3 ∈ A    e   3 ∈ B

Perceba que, todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, então podemos afirmar que A está contido em B, podendo ser indicado da seguinte maneira: A ⊂ B. E se A ⊂ B, podemos também dizer que B contém A, podendo ser indicado da seguinte maneira: B ⊃ A.

Exemplo 02

Agora considere os seguintes conjuntos abaixo:

A = {0, 1, 2, 3}

B = {1, 2, 3, 4}

temos:

0 ∈ A    e   0 ∉ B

1 ∈ A    e   1 ∈ B

2 ∈ A    e   2 ∈ B

3 ∈ A    e   3 ∈ B

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Perceba que, nem todos os elementos do conjunto A pertence ao conjunto B. Então podemos dizer que A não está contido em B, podendo ser indicado da seguinte maneira: A ⊄ B. Logo, B não contem A, que também é indicado por B ⊅ A.

Então:

Quando todos os elementos do conjunto A também pertencem B, dizemos que A está contido em B, ou A é subconjunto de B, ou A é parte de B. Também dizemos que B contem A.

Quando nem os elementos do conjunto A pertencem a B, dizemos que A não está contido em B. Também dizemos que B não contem A.

É importante sabermos que:

Todo subconjunto é subconjunto de si mesmo, ou seja, A ⊂ A.

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, Ø ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.

Exemplo 03

Dado o conjunto A = {a, e, i}, podemos obter os seguintes subconjuntos de A:

subconjunto sem elementos: Ø;

subconjunto com um elemento: {a}, {e}, {i};

subconjunto com dois elemento: {a, e}, {a, i}, {e, i};

subconjunto com três elemento: {a, e, i};

Então, os subconjuntos de A são: {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}.

 

Relação de igualdade

Dizemos que dois ou mais conjuntos são iguais, quando todos possuem o mesmo elemento. Você irá entender melhor com o exemplo abaixo.

Dado dois conjuntos A e B, cujo seus elementos são:

A = {c, a, r l, o, s}

B = {a, r, c, s, l, o}

Observe que os elementos de A e B são o mesmo, então podemos afirmar que o conjunto A é igual ao conjunto B.

Então, dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.

Para indicar se um conjunto é igual ou diferente do outro, utilizamos os seguintes símbolos:

= (lê-se igual)

≠ (lê-se diferente)

Exemplos:

A = {c, a, r l, o, s}

B = {a, r, c, s, l, o}

C = {1, 2, 3, 4, 5}

D = {5, 4, 3, 2, 1}

Podemos afirmar que:

A = B ==> (lê-se: A igual B)

C = D ==> (lê-se: C igual D)

A ≠ C ==> (lê-se: A diferente de C)

B ≠ D ==> (lê-se: B diferente de D)

Fonte: Matemática na web

 

Relação de União

Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados.

Exemplo 1:

Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é :

A U B = {0,1,2,3,4}

Exemplo 2:

Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é:

A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B.

Intersecção

Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.

Exemplo 1:

Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos:

A ∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.

 

 

Complementação de conjuntos.

Mesmo que Conjunto complementar

Conjunto complementar está relacionado com a diferença de conjunto.

Achamos um conjunto complementar quando, por exemplo, dado um conjunto A e B e o conjunto B e A, então B é complementar em relação a A.

A = {2, 3, 5, 6, 8}

B = {6,8}

B  A, então o conjunto complementar será CAB = A – B = {2, 3, 5}.

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