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Múltiplos e divisores de números naturais

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No final da postagem tem uma videoaula bem interessante, não esqueça de assistir

Números naturais

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … }

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A divisão inteira fundamenta-se na teoria da divisibilidade dos números Naturais. O conceito de divisibilidade, que é o conjunto de condições que os números Naturais têm de preencher para que um possa ser dividido por outro de forma exata, é derivado do conceito de múltiplo de um número. Embora simples esses conceitos são de grande importância no desenvolvimento matemático e nos auxiliam na solução de questões práticas.

Múltiplos e divisores de um número natural

Múltiplos

Um número é múltiplo de outro quando, ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto é zero.

O número 10 é múltiplo de 2; pois 10 dividido por 2 é igual a 5 e resta zero.

O número 12 é múltiplo de 3; pois 12 dividido por 3 é igual a 4 e resta zero.

O número 9 não é múltiplo de 2; pois 9 dividido por 2 é igual a 4 e resta 1.

O número 15 não é múltiplo de 4; pois 15 dividido por 4 é igual a 3 e resta 3.

Vamos agora escrever o conjunto dos múltiplos de 2, indicado por M(2), e dos múltiplos de 5, isto é, M(5):

M(2) = {0,2,4,6,8,…}.

M(5) = {0,5,10,15,20,…}

Para lembrar:

O conjunto dos múltiplos de um número Natural não nulo é infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o número dado por todos os números Naturais.

Observe:

M(3) = {3 x 0, 3 x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, 3 x 5, 3 x 6,…} = {0,3,6,9,12,15,18,…}

Observe também que o menor múltiplo de todos os números é sempre o zero. Diremos que um número é divisor de outro se o segundo for múltiplo do primeiro.

No exemplo anterior, observamos que o número 10 é múltiplo de 2, consequentemente 2 é divisor de 10.

Os números 12 e 15 são múltiplos de 3, portanto, 3 e 5 são divisores de 12 e 15, respectivamente. Vamos agora escrever o conjunto dos divisores de 15, indicado por D(15), e dos divisores de 20, isto é, D(20):

D(15) = {1,3,5,15}

D(20) = {1,2,4,5,10,20}

Observe que o conjunto dos divisores de um número Natural não-nulo é sempre um conjunto finito, em que o menor elemento é o 1 e o maior é o próprio número.

OBSERVAÇÃO: Quando um número é múltiplo de mais de um número, dizemos que o primeiro é um múltiplo comum dos segundos números.

Exemplo:

múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,…….

múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,….

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múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6, 12, 18,….

Fonte: Educador matemático

 

Divisores

Os divisores de um número são aqueles que cabem nesse número uma quantidade exata de vezes.

Se as divisões:

Exemplos:

Provar que 2, 4 e 8 são divisores de 48.

48 ÷ 2 = 24; r = 0 → 2 é divisor de 48 → 2 Cabe em 48 exatamente 24 vezes.

48 ÷ 4 = 12; r = 0 → 4 é divisor de 48 → 4 cabe em 48 exatamente 12 vezes.

48 ÷ 8 = 6; r = 0 → 8 é divisor de 48 → 8 Cabe em 48 exatamente 6 vezes.

Calcular todos os divisores de 15.

Dividir 15 por 1, 2, 3, …

De cada divisão exata, extrair os divisores de 15: o divisor e o quociente.

15 ÷ 1 = 15 → 1 e 15 São divisores de 15.

5 ÷ 2 → A divisão não é exata.

15 ÷ 3 = 5 → 3 e 5 São divisores de 15.

5 ÷ 4 → A divisão não é exata.

A divisão termina quando o quociente da divisão é menor que o divisor.

Como o quociente da divisão 15 + 4 é 3, que é menor que o divisor (4), já se têm todos os divisores de 15.

Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15.

Propriedades dos divisores

Todo número é divisor de si mesmo.

O número 1 é divisor de qualquer número.

Um número natural que é divisor de dois números também é divisor da soma destes.

Um número natural que é divisor de outros dois também é divisor de seu produto.

Fonte: Cola da Web

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