| O QUE VOCÊ ENCONTRARÁ AQUI: |
|
Cálculo da Média, Mediana, Moda e demais separatrizes
Média
| O que você vai encontrar nesta postagem: |
|
Equações irracionais
Definição:
Todas as equações que tem pelo menos uma incógnita ou variável no radicando são consideradas como equações irracionais.
Exemplos:
Nos dois exemplos a incógnita x esta dentro da raiz (radicando).
Equação biquadrada na incógnita x, é toda equação de grau 4, redutível à forma ax4 + bx2 + c = 0, que pode ser convertida em uma equação de 2º grau.
2x4 – 7x2 – 4 = 0
Sabe-se que x4 = (x2)2. Portanto, poderás substituir x2 por y, e ao substituir x2 por y, terá uma equação de 2º grau na incógnita y
2x4 – 7x2 – 4 = 0
2y2 – 7y – 4 = 0 → fazendo x2 = y
Resolvendo como uma equação de 2º grau, utilizaremos o teorema de Bhaskara
a = 2, b = – 7 e c = – 4 → valores dos coeficientes
Problemas e inequações do 2º grau
Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax² + bx + c > 0;
ax² + bx + c < 0;
ax² + bx + c ≥ 0;
ax² + bx + c ≤ 0.
onde a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0.
Operações com números naturais e fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … }
Produtos notáveis
Quando algumas expressões algébricas possuem características comuns ao serem resolvidas, são chamadas de produtos notáveis, pois respeitam uma lógica matemática. Esses produtos podem ser resolvidos através da multiplicação distributiva ou por uma fórmula.
Através da fórmula, reduzimos os cálculos e o tempo de resolução do exercício, propiciando uma maior rapidez na resolução das questões (uma praticidade bastante almejada).
Para alguns, a memorização de fórmulas é um problema, por isso, sempre que a memória falhar, não se preocupe, aplique a multiplicação distributiva que você obterá o mesmo resultado, afinal de contas, essas fórmulas foram determinadas através da realização dessa técnica.
Observe nos produtos notáveis abaixo:
Volume
Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, entre outros exemplos.
Definição
Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:
ax + b > 0;
ax + b < 0;
ax + b ≥ 0;
ax + b ≤ 0.
Onde a, b são números reais com a ≠ 0.
Exemplos:
-2x + 7 > 0
x – 10 ≤ 0
2x + 5 ≤ 0
12 – x < 0
Equações
Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos).
São exemplos de equações as seguintes igualdades:
x+8=15
x³-9x²-7=4
3sen(x)+25cos(x)=18
3x4-x3+5x²-34x+1211=0
Nesses exemplos, as letras x e y são as incógnitas de suas equações. A incógnita de uma equação é o número desconhecido que se quer descobrir.
A equação x+8=15 pode ser interpretada como uma pergunta: “qual o número que somado com 8 dá 15?”. Não é necessário nenhum método ou fórmula para encontrar o valor de x nesse caso: basta pensar um pouco para se chegar ao resultado x=7.
Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem a igualdade verdadeira. As equações mostradas nos exemplos acima podem ser interpretadas e resolvidas facilmente: o número que subtraído de 10 é igual a 4 é m=6; o número que, ao ser multiplicado por 3, resulta em 18 é y=6.
Uma solução da equação pode ser compreendida como a raiz de uma função.
Algumas equações matemáticas descrevem, na verdade, identidades matemáticas, isto é, afirmações que são verdadeiras para todos os valores de x, como nos exemplos:
x(x+5)=x²+5x
sen²x+cos²x=1
Entretanto, uma equação pode ter apenas alguns valores para os quais ela se torna verdadeira. Nesse caso, ela deve ser resolvida para se encontrar os valores possíveis para as incógnitas. Por exemplo, considere a equação:
X²-3x=0.
Ela é satisfeita para exatamente dois valores de x, a saber, x=0} x=0 e x=3.
Em geral, os matemáticos reservam a palavra equação exclusivamente para igualdades que não são identidades. A distinção entre esses dois conceitos pode ser bastante sutil. Por exemplo:
(x+1)²=x²+2x+1
é uma identidade, mas:
(x+1)²=2x²+x+1
é uma equação cujas soluções são x = 0 e x=1.
Em geral, é possível perceber se se trata de uma identidade ou de uma equação pelo contexto em que a igualdade se encontra. Em alguns casos, na identidade, o sinal de igualdade (=) é trocado pelo sinal (≡).
Fonte: Wikipédia
Veja também: Equações do 1º grau e Equações do 2º grau
E você, qual o concurso você vai fazer? Deixe um comentário para mim, pois posso fazer postagens direcionadas para ele e te ajudar mais. Aproveita também para inscrever seu e-mail para receber conteúdos todos os dias.
Dica: Para você que não esta encontrando o conteúdo que precisa ou prefere estudar por apostilas dá uma olhada no site Apostilas Opção, lá eles tem praticamente todas as apostilas atualizadas de todos os concursos abertos. Caso queira saber por que indico as Apostilas Opção clique aqui!
Resolvi organizar melhor as postagens do site para facilitar ainda mais para você.
Coloquei então todas as matérias como são pedidas nos concursos, Enem e IFES. E em ordem alfabética.
Caso você queira sugerir algo que facilite ainda mais pode sugerir
Matemática para concursos 2021
Área e perímetros de figuras planas
Cálculo de áreas e ou de volumes.
Conceito de Função: Função Polinomial, Exponencial e Logarítmica.
Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros, racionais e reais)
Conjuntos numéricos – operações e propriedades
Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto
Expressões algébricas ou literais
Frações e operações com frações.
Funções do 1º e 2º graus – Problemas
Funções polinomiais do 1º e 2º graus.
grandezas diretamente proporcionais, grandezas inversamente proporcionais
Grandezas e medidas – quantidade, tempo, comprimento, superfície, capacidade e massa;
Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto
Leitura de gráficos de barras ou colunas e tabelas simples.
Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Média aritmética simples e ponderada
Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo
Medidas de tempo, massa e temperatura
Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.
Múltiplos e divisores de um número inteiro
Múltiplos e divisores de números naturais
Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, teorema de Pitágoras.
Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, ângulo, teorema de Pitágoras.
Noções de geometria plana – forma, área, perímetro e Teorema de Pitágoras
Números e grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Números e grandezas proporcionais: razões e proporções
Números racionais: operações e propriedades
Números racionais, representação fracionária e decimal: operações e propriedades.
Números reais: Operações e problemas
Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades.
Operações com números naturais e fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão.
Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais)
Problemas do campo aditivo (adição e subtração) e multiplicativo (multiplicação e divisão)
Problemas e inequações do 2º grau
Regras de Três Simples e Compostas
Relação entre grandezas: tabelas, gráficos e fórmulas
Representação por diagramas: Diagramas de Venn (Diagramas Lógicos)
Sequências (com números, com figuras, de palavras)
Sistema de amortização misto (SAM)
Sistema de medidas: decimais e não decimais
Sistemas métricos: decimal e não decimal.
Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade.
Sistema monetário brasileiro: problemas
Sistema monetário brasileiro. Resolução de situações problema.
Sistemas de equações do 1º e 2º grau
Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente
Teoria dos conjuntos: as relações de pertinência, inclusão e igualdade
Tratamento da informação – média aritmética simples
Dica: Para você que não esta encontrando o conteúdo que precisa ou prefere estudar por apostilas dá uma olhada no site Apostilas Opção, lá eles tem praticamente todas as apostilas atualizadas de todos os concursos abertos. Caso queira saber por que indico as Apostilas Opção clique aqui!
Sequências (com números, com figuras, de palavras)
O raciocínio pode ser considerado um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.
Trazendo inúmeras possibilidades e várias abordagens, vamos nos deter hoje a um tema específico que é o Raciocínio Sequencial ou Lógica Sequencial ou até mesmo Sequências lógicas.
Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Isso significa que os conceitos e operações provenientes da aritmética (adição, subtração, multiplicação, divisão etc.) serão testados e sua eficácia será comprovada para todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos.
Nos estudos de álgebra, letras são utilizadas para representar números. Essas letras tanto podem representar números desconhecidos quanto um número qualquer pertencente a um conjunto numérico. Se x é um número par, por exemplo, então x pode ser 2, 4, 6, 8, 10,…. Dessa maneira, x é um número qualquer pertencente ao conjunto dos números pares e fica evidente o tipo de número que x é: um múltiplo de 2.
Propriedades das operações matemáticas:
1 – Associatividade
(x + y) + z = x + (y + z)
(x·y)·z = x·(y·z)
2 – Comutatividade
x + y = y + x
x·y = y·x
3 – Existência de elemento neutro (1 para a multiplicação e 0 para a adição)
x + 0 = x
x·1 = x
4 – Existência de elemento inverso
x + (– x) = 0
x· 1 = 1
x
5 – Distributividade (também chamada de propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição)
x·(y + z) = x·y + x·z
Essas cinco propriedades são válidas para todos os números reais x, y e z, uma vez que essas letras foram usadas para representar qualquer número real. Elas também são válidas para as operações adição e multiplicação.
Expressões algébricas
Na Matemática, expressão é a uma sequência de operações matemáticas realizadas com alguns números. Por exemplo: 2 + 3 – 7 é uma expressão numérica. Quando essa expressão envolve números desconhecidos (incógnitas), ela é chamada de expressão algébrica. Uma expressão algébrica que possui apenas um termo é chamada de monômio. Qualquer expressão algébrica que seja resultado de soma ou subtração entre dois monômios é chamada de polinômio.
Expressões algébricas, monômios e polinômios são exemplos de elementos pertencentes à álgebra, pois são constituídos a partir de operações realizadas com números desconhecidos. Lembre-se de que um número desconhecido pode representar qualquer número de um conjunto numérico.
Equações
Equações são expressões algébricas que possuem uma igualdade. Dessa forma, equação é um conteúdo da Matemática que relaciona números a incógnitas por intermédio de uma igualdade.
A presença da incógnita é o que classifica a equação como expressão algébrica. A presença da igualdade permite encontrar a solução de uma equação, isto é, o valor numérico da incógnita.
Exemplos
1) 2x + 4 = 0
2) 4x – 4 = 19 – 8x
3) 2×2 + 8x – 9 = 0
Funções
A definição formal de função é a seguinte: função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de um segundo conjunto.
Essa regra é matematicamente representada por uma expressão algébrica que possui uma igualdade, mas que relaciona incógnita a incógnita. Esta é a diferença entre função e equação: a equação relaciona uma incógnita a um número fixo; na função, a incógnita representa todo um conjunto numérico. Por esse motivo, dentro de funções, as incógnitas são chamadas de variáveis, já que elas podem assumir qualquer valor dentro do conjunto que representam.
Como envolve expressões algébricas, função é também um conteúdo pertencente à Álgebra, uma vez que as letras representam qualquer número pertencente a um conjunto de números qualquer.
Exemplo:
Considere a função y = x2, em que x é qualquer número real.
Nessa função, a variável x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais. Como a regra que liga os números representados por x aos números representados por y é uma operação matemática básica, então, y também representa números reais. O único detalhe a respeito disso é que y não pode representar um número real negativo nessa função, uma vez que y é resultado de uma potência de expoente 2, que sempre terá resultado positivo.
Fonte: Brasil escola, por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática
E você, qual o concurso você vai fazer? Deixe um comentário para mim, pois posso fazer postagens direcionadas para ele e te ajudar mais. Aproveita também para inscrever seu e-mail para receber conteúdos todos os dias.
Dica: Para você que não esta encontrando o conteúdo que precisa ou prefere estudar por apostilas dá uma olhada no site Apostilas Opção, lá eles tem praticamente todas as apostilas atualizadas de todos os concursos abertos. Caso queira saber por que indico as Apostilas Opção clique aqui!
Expressões literais e algébricas
Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números, são também denominadas expressões literais. As letras constituem a parte variável das expressões, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. No passado as letras foram pouco utilizadas na representação de números desconhecidos, atualmente as letras associadas a números constituem a base da álgebra e contribui de forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas. Veja alguns exemplos de expressões algébricas:
2x – 5
3a + 2y
x² + 7x
5 + x – (5x – 2)
10y – 10x
a² – 2ab + b²
Simplificação de Expressões Algébricas
►y + y + y = 3y —— pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes também.
►m – 7m = -6m —— pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes também.
►5 . (x + 2) – 8 . x ——– utilizando a propriedade distributiva
5x + 10 – 8x———- 5x e 8x são monômios semelhantes
-3x + 10———como -3x e 10 não são semelhantes então não pode somar.
Concluímos que:
5 . (x + 2) – 8 . x = -3x + 10
Prioridade das operações numa expressão algébrica
Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:
Potenciação ou Radiciação
Multiplicação ou Divisão
Adição ou Subtração
Observações quanto à prioridade:
Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.
A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.
Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.
Exemplos:
Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim
P = 2.5+10 = 10+10 = 20
Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:
A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28
Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.
Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:
X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22
Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.
Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:
Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14
Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.
Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.
Fontes: Brasil escola, Mundo Educação e Sercomtel
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS GRÁFICOS E TABELAS
1 – BB 2013 – Fundação Carlos Chagas
O supervisor de uma agência bancária obteve dois gráficos que mostravam o número de atendimentos realizados por funcionários. O Gráfico I mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários A e B, durante 2 horas e meia, e o Gráfico II mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários C, D e E, durante 3 horas e meia.
Observando os dois gráficos, o supervisor desses funcionários calculou o número de atendimentos, por hora, que cada um deles executou. O número de atendimentos, por hora, que o funcionário B realizou a mais que o funcionário C é:
(A) 4.
(B) 3.
(C) 10.
(D) 5.
(E) 6.
Resolução:
Funcionário B:
25 atendimentos / 2,5 horas = 10 clientes por hora
Funcionário C:
21 atendimentos / 3,5 horas = 6 clientes por hora
Diferença: 10 – 6 = 4
2- Prova Resolvida Sejus ES 2013 – Vunesp
Observe os gráficos e analise as afirmações I, II e III.
Procura por graduação aumenta ano a ano
Explosão do número de inscritos
I – Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001, foi maior que 1000%.
II – Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior.
III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à distância foi de 2 para 5.
É correto o que se afirma em
(A) I e II, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
No final da postagem tem uma videoaula
Dica: Estou atualizando o Conteúdo Programático completo do ENEM e além disso, para você que não esta encontrando todo o conteúdo do Enem ou prefere estudar por apostilas dá uma olhada nesta apostilas para ENEM do site Apostilas Opção é bem interessante.
Bons estudos!
Divisibilidade
Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade.
Regras de Divisibilidade
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.
12:2 = 6
18:2 = 9
102:2 = 51
1024:2 = 512
10256:2 = 5128
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo:
66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12
60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6
81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18
Divisibilidade por 4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4.