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Divisão proporcional

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Divisão proporcional

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

A


p

= B


q

A solução segue das propriedades das proporções:

A


p

= B


q

= A+B


p+q

= M


p+q

= K

O valor de K é que proporciona a solução pois:

A = K p  e  B = K q

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

A


2

= B


3

= A+B


5

= 100


5

= 20

Segue que A=40 e B=60.

Exemplo: Determinar números A e B diretamente proporcionais a 8 e 3, sabendo-se que a diferença entre eles é 60. Para resolver este problema basta tomar A-B=60 e escrever:

A


8

= B


3

= A-B


5

= 60


5

=12

Segue que A=96 e B=36.

Divisão em várias partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a p1, p2, …, pn, deve-se montar um sistema com n equações e n incógnitas, sendo as somas X1+X2+…+Xn=M e p1+p2+…+pn=P.

X1


p1

= X2


p2

= … = Xn


pn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1


p1

= X2


p2

=…= Xn


pn

= X1+X2+…+Xn


p1+p2+…+pn

= M


P

= K

Exemplo: Para decompor o número 120 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que A+B+C=120 e 2+4+6=P. Assim:

A


2

= B


4

= C


6

= A+B+C


P

= 120


12

=10

logo A=20, B=40 e C=60.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120.

A solução segue das propriedades das proporções:

A


2

= B


4

= C


6

= 2A+3B-4C


2×2+3×4-4×6

= 120


-8

= – 15

logo A=-30, B=-60 e C=-90. Também existem proporções com números negativos!?

Divisão em duas partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a 1/p e 1/q, que são, respectivamente, os inversos de p e q.

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que A+B=M. Desse modo:

A


1/p

= B


1/q

= A+B


1/p+1/q

= M


1/p+1/q

= M.p.q


p+q

= K

O valor de K proporciona a solução pois: A=K/p e B=K/q.

Exemplo: Para decompor o número 120 em duas partes A e B inversamente proporcionais a 2 e 3, deve-se montar o sistema tal que A+B=120, de modo que:

A


1/2

= B


1/3

= A+B


1/2+1/3

= 120


5/6

= 120.2.3


5

= 144

Assim A=72 e B=48.

Exemplo: Determinar números A e B inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos A-B=10. Assim:

A


1/6

= B


1/8

= A-B


1/6-1/8

= 10


1/24

= 240

Assim A=40 e B=30.

Divisão em várias partes inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, …, Xn inversamente proporcionais a p1, p2, …, pn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, …, 1/pn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas, assume que X1+X2+…+ Xn=M e além disso

X1


1/p1

= X2


1/p2

= … = Xn


1/pn

cuja solução segue das propriedades das proporções:

X1


1/p1

= X2


1/p2

=…= Xn


1/pn

= X1+X2+…+Xn


1/p1+1/p2+…+1/pn

= M


1/p1+1/p2+…+1/pn

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:

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A solução é A=120, B=60 e C=40.

Exemplo: Para obter números A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=10, devemos montar as proporções:

A


1/2

= B


1/4

= C


1/6

= 2A+3B-4C


2/2+3/4-4/6

= 10


13/12

= 120


13

logo A=60/13, B=30/13 e C=20/13.

Existem proporções com números fracionários!?

Divisão em duas partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c e d e inversamente proporcionais a p e q, deve-se decompor este número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a c/q e d/q, basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que A+B=M e além disso:

A


c/p

= B


d/q

= A+B


c/p+d/q

= M


c/p+d/q

= M.p.q


c.q+p.d

=K

O valor de K proporciona a solução pois: A=Kc/p e B=Kd/q.

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, e, inversamente proporcionais a 5 e 7, deve-se montar as proporções:

A


2/5

= B


3/7

= A+B


2/5+3/7

= 58


29/35

= 70

Assim A=(2/5).70=28 e B=(3/7).70=30.

Exemplo: Para obter números A e B diretamente proporcionais a 4 e 3 e inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 21. Para resolver este problema basta escrever que A-B=21 resolver as proporções:

A


4/6

= B


3/8

= A-B


4/6-3/8

= 21


7/24

= 72

Assim A=(4/6).72=48 e B=(3/8).72=27.

Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número M em n partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a p1, p2, …, pn e inversamente proporcionais a q1, q2, …, qn, basta decompor este número M em n partes X1, X2, …, Xn diretamente proporcionais a p1/q1, p2/q2, …, pn/qn.

A montagem do sistema com n equações e n incógnitas exige que X1+X2+…+Xn=M e além disso

X1


p1/q1

= X2


p2/q2

=…= Xn


pn/qn

A solução segue das propriedades das proporções:

X1


p1/q1

= X2


p2/q2

=…= Xn


pn/qn

= X1+X2+…+Xn


p1/q1+p2/q2+…+pn/qn

Exemplo: Para decompor o número 115 em três partes A, B e C diretamente proporcionais a 1, 2 e 3 e inversamente proporcionais a 4, 5 e 6, deve-se montar um sistema com 3 equações e 3 incógnitas de forma de A+B+C=115 e tal que:

A


1/4

= B


2/5

= C


3/6

= A+B+C


1/4+2/5+3/6

= 115


23/20

= 100

logo A=(1/4)100=25, B=(2/5)100=40 e C=(3/6)100=50.

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 1, 10 e 2 e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5, de modo que 2A+3B-4C=10.

A montagem do problema fica na forma:

A


1/2

= B


10/4

= C


2/5

= 2A+3B-4C


2/2+30/4-8/5

= 10


69/10

= 100


69

A solução é A=50/69, B=250/69 e C=40/69.

Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuição de um resultado (lucro ou prejuizo) de uma sociedade, sendo que os membros poderão participar com capitais distintos e também em tempos distintos. Os capitais dos membros participantes são indicados por: C1, C2, …, Cn e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por t1, t2, …, tn.

Definiremos o peso pk (k=1,2,…,n) de cada participante como o produto:

pk = Ck tk

e indicaremos o capital total como a soma dos capitais participantes:

C = C1 + C2 + … + Cn

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor M diretamente proporcional aos pesos p1, p2, …, pn.

Exemplo: Ocorreu a formação de uma sociedade por três pessoas A, B e C, sendo que A entrou com um capital de R$50.000,00 e nela permaneceu por 40 meses, B entrou com um capital de R$60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses e C entrou com um capital de R$30.000,00 e nela permaneceu por 40 meses. Se o resultado (que pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de R$25.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio serão indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

p1=50×40=2000;  p2=60×30=1800;  p 3=30×40=1200

A montagem do problema estabelece que A+B+C=25000 e além disso:

A


2000

= B


1800

= C


1200

A solução segue das propriedades das proporções:

A


2000

= B


1800

= C


1200

= A+B+C


5000

= 25000


5000

= 5

A participação de cada sócio é X=5(2000)=10000, Y=5(1800)=9000 e Z=5(1200)=6000.

Esta matéria foi retirada do site sercontel

Acesso o link abaixo que também está muito em explicado e tem exercícios para você praticar:

Matemática muito fácil

Dica: Para você que não esta encontrando o conteúdo que precisa ou prefere estudar por apostilas dá uma olhada no site Apostilas Opção, lá eles tem praticamente todas as apostilas atualizadas de todos os concursos abertos. Caso queira saber por que indico as Apostilas Opção clique aqui!

Veja os links abaixo para complementar seus estudos sobre números e grandezas proporcionais:

Números e grandezas proporcionais: razões e proporções; divisão em partes proporcionaisregra de três; porcentagem e problemas.

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