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Geometria básica

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Medidas de Comprimento

Durante muito tempo as unidades de medida eram muitas, variavam de acordo com o povoado. Por exemplo: um povoado mais ao Norte usava um palmo de mão como referência para medir comprimento e um outro povoado mais ao Sul usava o pé como unidade. Assim, tornava-se inviável estabelecer relações comerciais, o que impedia o progresso de grande parte dos povoados. Devido a essa dificuldade, tornou-se necessário estabelecer uma unidade padrão de comprimento, algo que fosse aceito por todos. Isso aconteceu no final do século XVIII, quando reformadores franceses escolheram uma comissão de cinco matemáticos para que elaborassem um sistema padronizado, foi quando definiu-se o metro (m) como unidade internacional de comprimento e seu valor é igual a fração 1/300.000.000 da distância percorrida pela luz, no vácuo em um segundo.

Dependendo do que vai ser medido, fica inviável medir usando o metro. Portanto deve-se usar medidas maiores ou menores do que o metro, múltiplos ou submúltiplos, respectivamente. Os múltiplos são o quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam). Já os submúltiplos são o decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

 

 

 

 

 

 

Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de comprimento, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança.

Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca uma casa decimal para a direita.

Ex: 3,7 dm para mm

Haverá a mudança para duas unidades de comprimento inferiores, assim, desloca-se a vírgula duas casas para a direita.

Portanto, o valor será de 3,7 x 100 = 370 mm

Menor -> Maior: deve-se dividir por 10 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca uma casa decimal para a esquerda.

Ex: 680 cm para dam

Haverá a mudança para três unidades de comprimento superiores, assim, desloca-se a vírgula três casas para a esquerda.

Portanto, o valor será de 680 : 1000 = 0,68 dam

 

Medidas de Superfície

Não se sabe ao certo quando foi usado pela primeira o cálculo da área de uma superfície. O que se sabe é que é algo muito antigo, antes mesmo de Cristo. No Egito Antigo, essa noção era utilizada para calcular o valor do imposto que um agricultor tinha que pagar ao faraó pelo uso da terra nas proximidades do rio Nilo. O valor de tal imposto era proporcional à extensão de terra que o agricultor possuía.

Atualmente, podemos citar vários exemplos de aplicação do cálculo da área de uma superfície: para saber a extensão de um terreno rural ou urbano, para estimar a área da superfície de um rio, para calcular o valor da área de uma figura geométrica, etc.

Como a unidade padrão de comprimento é o metro (m), a unidade padrão de superfície é o metro quadrado (m²). Assim como na unidade de comprimento, a unidade de superfície tem seus múltiplos e submúltiplos, que são usados para medir superficies maiores ou menores do que o metro quadrado. Os múltiplos são o quilômetro quadrado (km²), o hectômetro quadrado (hm²) e o decâmetro quadrado (dam²); os submúltiplos são o decímetro quadrado (dm²), o centímetro quadrado (cm²) e o milímetro quadrado (mm²).

Cada unidade de medida de superfície vale 100 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de superfície, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento mais simples, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a esquerda ou para a direita.

Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a direita.

Ex: 0,09 m² para cm²

Haverá a mudança para duas unidades de superfície inferiores, assim, desloca-se a vírgula quatro casas para a direita.

Portanto, o valor será de 0,09 x 10000 = 900 cm²

 

Menor -> Maior: deve-se dividir por 100 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca duas casas decimais para a esquerda.

Ex: 2000 dm² para hm²

Haverá a mudança para três unidades de superfície superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a esquerda.

Portanto, o valor será de 2000 : 1000000 = 0,002 hm²

 

Medidas de Volume

Quando falamos de medidas de volume, tem-se que mencionar que tal conceito vem sendo usado desde a antiguidade e, atualmente, convive-se com ele no dia-a-dia. Diversas são as atividades onde são usados o conhecimento sobre volume, como na construção de uma barragem, faz-se necessário calcular o volume de concreto para a obra; em um caminhão de transporte, onde é necessário conhecer o volume de carga total desse caminhão; na construção de uma piscina, onde é preciso conhecer o volume de água que a piscina suporta; em um botijão de gás, onde nele está marcado o volume de gás que ele contém, etc.

A unidade padrão de volume é o metro cúbico (m³), já que a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Para calcular o valor de um volume, pode-se usar os múltiplos ou submúltiplos da unidade padrão de volume, se o valor for muito maior ou menor de que o metro cúbico, respectivamente. Os múltiplos são o quilômetro cúbico (km³), o hectômetro cúbico (hm³) e o decâmetro cúbico (dam³); os submúltiplos são o decímetro cúbico (dm³), o centímetro cúbico (cm³) e o milímetro cúbico (mm³).

Cada unidade de medida de volume vale 1000 vezes a unidade imediatamente inferior. Para fazer-se uma mudança de unidade entre as medidas de volume, deve-se multiplicar, se a mudança for de uma unidade maior para uma menor, ou dividir, se a mudança for de uma unidade menor para uma maior, dependendo do número de unidades mudadas. Para tornar tal procedimento um pouco mais viável, pode-se deslocar a vírgula para a esquerda ou direita, dependendo da mudança. Para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda ou para a direita.

 

Maior -> Menor: deve-se multiplicar por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a direita.

Ex: 0,0059 cm³ para mm³

Haverá a mudança para uma unidade de volume inferior, assim, desloca-se a vírgula três casas para a direita.

Portanto, o valor será de 0,0059 x 1000 = 5,9 mm³

 

Menor -> Maior: deve-se dividir por 1000 para cada unidade mudada, ou seja, para cada unidade mudada, a vírgula se desloca três casas decimais para a esquerda.

Ex: 526000 dm³ para dam³

Haverá a mudança para duas unidades de volume superiores, assim, desloca-se a vírgula seis casas para a esquerda.

Portanto, o valor será de 526000 : 1000000 = 0,526 dam³

 

Perímetro

Perímetro é a soma das medidas dos lados de um polígono. Notoriamente, tal conceito é muito simples, basta verificar se todos os lados estão representados pelas mesmas unidades de comprimento e somá-los. Alguns casos valem ser ressaltados:

Retângulo

No retângulo, a medida de suas duas bases (b) são iguais, assim como a medida de suas duas alturas (h). Como perímetro é a soma de todos os lados, portanto seu perímetro é:

P = 2 x b + 2 x h

 

Polígonos Regulares

Nos polígonos regulares, tem-se uma particularidade: a medida de todos os lados é semelhante. Assim, o perímetro desses polígonos será o produto do número de lados (n) pela medida do lado (l), ou seja:

P = n x l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Área

Área é a região plana interna delimitada pelos lados de um polígono. Tal conceito é amplamente usado no dia-a-dia, como na medição de um terreno, na delimitação de um espaço, entre outros. O valor da área de um polígono varia de acordo com seu formato.

Cada polígono tem uma forma peculiar para calcular sua área. Exemplificaremos alguns conhecidos, tais como: retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango e círculo.

 

Retângulo

 

Já sabemos que o retângulo possui dois lados iguais chamados de base e outros dois lados iguais chamados de altura. Para sabermos o valor da área de um retângulo (A), devemos multiplicar a medida da base (b) pela medida da altura (h).

A = b x h

 

Quadrado

No quadrado, podemos aplicar o mesmo raciocínio usado para calcular a área do retângulo, multiplicando a medida da base pela medida da altura, mas, como no quadrado a medida de todos os lados é igual (l):

A = l x l ou A = l²

 

 

Paralelogramo

Se observarmos a figura ao lado, podemos notar que o paralelogramo é semelhante a um retângulo com os lados inclinados. Se tirarmos uma das partes inclinadas do paralelogramo e a enxertarmos no outro lado, formaremos um retângulo. Assim, a área do paralelogramo é calculado da mesma forma da área do retângulo, ou seja, multiplica-se o valor da base (b) pelo valor da altura (h).

A = b x h

 

Triângulo

No caso do triângulo, pode-se notar que ele é exatamente metade de um retângulo, portanto, num retângulo cabem dois triângulos, ambos de mesma área. Por conseguinte, a área do triângulo é metade da área do retângulo, ou seja:

A = b x h / 2

 

Losango

Ao traçar as diagonais, maior (D) e menor (d) do losango, o dividimos em quatro triângulos de áreas iguais, onde cada um tem a oitava parte da área do retângulo de base igual ao valor da diagonal menor do losango e de alura igual ao valor da diagonal maior. Logo, a área do losango é igual a quatro vezes a área de um dos quatro triânglos, resultando na metade da área desse retângulo. Portanto:

A = D x d / 2

 

 

 

 

Trapézio

Dado um trapézio, como o da figura ao lado, contendo a base menor (b), a base maior (B) e a altura (h). Se ao lado desse trapézio colocarmos um segundo trapézio, idêntico ao primeiro, mas invertido, ou seja, sua base menor voltada para cima e sua base menor voltada para baixo, formaremos um paralelogramo de base igual à soma das bases do trapézio e de mesma altura do trapézio. Assim, encontramos a área desse paralelogramo multiplicando sua base pela altura. Note que o valor achado é igual a área dos dois trapézios idênticos. Portanto, para calcular a área do trapézio, basta dividir o valor encontrado para a área do paralelogramo.

A = [(B + b) x h] / 2

 

Círculo

Considere um círculo de raio r. Divida-o em várias partes iguais, corte-o de forma que os pedaços sejam de formato triangular e abra a figura, formando um retângulo de base igual a 2x(pi)x r e altura igual ao próprio raio r do círculo. Portanto a área desse retângulo é achada multiplicando sua base pela altura. Deve-se notar que a área desse retângulo é o dobro da área do círculo, sendo assim, acha-se a área do círculo dividindo a área do retângulo por 2.

A = (pi) x r²

 

 

Volume

Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, entre outros exemplos.

Alguns sólidos geométricos são formados por polígonos e esses polígonos recebem o nome de faces do polígono. Já o segmento que une duas faces do polígono recebe o nome de aresta do sólido. Assim como no cálculo da área, o cálculo do volume de um sólido depende do formato do sólido. Mas, de forma geral, o volume de um sólido geométrico é calculado a partir do produto de sua base por sua altura. Por enquanto, calcularemos o volume de alguns sólidos, como: o paralelepípedo retângulo, o cubo e o cilindro.

 

Paralelepípedo Retângulo

O paralelepípedo retângulo é um sólido cujas seis faces são retângulos. Para calcular o volume do paralelepípedo retângulo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do paralelepípedo retângulo tem o formato retangular, exprimimos o valor de sua área por b x c. Portanto, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do paralelepípedo retângulo, acharemos o valor do volume (V) desse sólido:

V = a x b x c

 

 

Cubo

O cubo é um sólido geométrico cujas seis faces são quadrados de mesmo lado. Para calcular o volume do cubo é necessário fazer o produto da área de sua base pela altura. Mas, como a base do cubo é um quadrado de lado a, o valor de sua área é, então, definido pelo lado ao quadrado (a²). Sendo assim, se multiplicarmos o valor da área da base pela altura (a) do cubo, acharemos o valor do volume (V) desse sólido:

V = a x a x a ou V = a³

 

 

 

 

 

Cilindro

Cilindro é um sólido geométrico que pode ser entendido como um círculo prolongado até uma altura h. O cilindro possui duas faces iguais e de formato circular. Para calcular o volume do cilindro, deve-se fazer o produto da área de sua base pela altura. No caso do cilindro, sua base é um círculo, portanto a área de sua base é igual a (pi) x r². Multiplicando esse valor pela altura (h) do cilindro, achamos o seu volume (V):

V = (pi) x r² x h

 

 

 

 

Ângulos

São regiões formadas por duas semi-retas com um ponto O em comum chamado origem. Os dois principais sistemas de medidas são:

Circular

Sua unidade principal é o radiano (rad); tem como base o ângulo central de uma circunferência cujo arco tem a mesma medida do raio.

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Sexagesimal

Sua unidade principal é o grau ( º ); tem como base a divisão da circunferência em 360 partes iguais, sendo cada uma dessas partes um grau.

 

Possui os submúltiplos minuto( ’ ) e segundo ( ” ), cujas equivalências são: 1º = 60’ e 1’ = 60″.

 

 

Tipos de Ângulos

 

a) Ângulo Agudo: 0º < A < 90º

b) Ângulo Reto: A = 90º

c) Ângulo Obtuso: 90º < A < 180º

d) Ângulo Raso ou Meia Volta: A = 180º

e) Ângulos Opostos pelo Vértice (OPV):

f) Ângulos Consecutivos:

Possuem um lado e um vértice em comum.

Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo

 

g) Ângulos Adjacentes: São ângulos consecutivos que não possuem pontos internos em comum.

 

AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.

 

 

h) Ângulos Complementares: Ângulos que somados resultam em 90º.

 

OBS: Complemento de um ângulo é o valor que falta para a soma completar 90º.

 

i)Ângulos Suplementares: Ângulos que somados seu valor resulta em 180º.

OBS: Suplemento de um ângulo é o valor que falta para a soma completar 180º.

 

j) Ângulos Replementares: Ângulos que somados resultam em 360º.

 

OBS: Replemento de um ângulo é o valor que falta para a soma completar 360º.

 

 

 

Medida de um ângulo – amplitude

A medida de um ângulo é um número real positivo associado a ele, de forma que:

Ângulos congruentes têm medidas iguais e ângulos iguais são congruentes.

Se um ângulo α é maior que um ângulo β, então a medida de α será maior que a medida de β.

A soma de dois ou mais ângulos é a soma das medidas de cada um desses ângulos.

Chamamos a medida de um ângulo de amplitude.

 

Unidades de medida de um ângulo

Grau (°)

A unidade principal de medida de um ângulo é o grau (°).

1° (um grau) equivale a 1360 de uma circunferência, ou seja, 1° corresponde a uma das 360 partes em que uma circunferência foi dividida. Assim, uma circunferência inteira possui 360°.

Minuto ( ‘ )

Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida minuto ( ‘ ). Um minuto corresponde a 160 de um grau, ou seja, 1 minuto (1’) corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de 1° foi dividido.

1′=1o60

Um grau possui 60 minutos (1º = 60′).

Segundo ( ” )

Quando queremos expressar medidas de ângulos menores que 1°, utilizamos a medida segundo ( ” ). Um segundo corresponde a 160 de um minuto, ou seja, 1 segundo (1”) corresponde a uma das 60 partes em que um ângulo de 1′ foi dividido.

1′′=1′60

Um minuto possui 60 segundos (1′ = 60”).

Grado

Esta medida não é muito usual.

Um grado corresponde a 910 de um grau, ou seja, 1 grado (1 gr) corresponde a 9 das 10 partes em que um ângulo de 1° foi dividido.

Fontes: Guia do estudante, infoescola, escola kids e UEL

 

TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras é um dos assuntos mais conhecidos da Matemática. Ele é uma das primeiras coisas que lembramos quando falamos sobre geometria ou trigonometria. Sua descoberta foi importante para a época, pois impulsionou inúmeros outros estudos, os quais fizeram com que a matemática avançasse até os dias atuais. Seu enunciado é simples, assim como os cálculos envolvidos.

Esse teorema só pode ser aplicado em um triângulo retângulo, que é aquele onde há um ângulo igual a 90°, que chamamos de ângulo reto. Daí o nome, triângulo retângulo. Para compreender, veja, abaixo, uma figura.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Em um triângulo retângulo, o lado maior, CB, recebe o nome de Hipotenusa. Este lado sempre estará oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados, AC e AB recebem o nome de Cateto.

O enunciado do Teorema diz o seguinte:

“O quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma do quadrado das medidas dos catetos”

Observando a figura acima, podemos resumir, matematicamente, o enunciado em:

CB²=AB²+AC²

A²=b²2+c²

Demonstração

Existem muitas demonstrações para o Teorema de Pitágoras. Aqui, vamos explorar uma demonstração que toma como base as relações métricas num triângulo retângulo:

 

 

 

 

 

 

 

 

Considerando que o triângulo ABC é congruente ao triângulo DAC, temos a seguinte relação:

a/b=b/n⇒b²=a⋅n

Considerando que o triângulo ABC é congruente ao triângulo DBA, temos a seguinte relação:

a/c=c/m⇒c²=a⋅m

Agora vamos somam, membro a membro essas duas equações:

B²=a⋅n

C²=a⋅m

B²+c²=an+am

B²+c²=a(n+m)

Observe que n + m = a, assim:

B²+c²=a(n+m)

B²+c²=a⋅2

B²+c²=a²

Exemplo:

(ENEM). Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada de 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

A) 1,8 m.

B) 1,9 m.

C) 2,0 m.

D) 2,1 m

E) 2,2 m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Observe que a altura entre o primeiro degrau e o corrimão é de 90 cm. Somando o comprimento de cada degrau, obteremos 5 . 24 = 120 cm

Observe que será formado um triângulo retângulo de catetos 90 cm e 120 cm. Podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do corrimão:

 

A²=b²+c²

A²=90²+120²

A²=8100+14400

A²=22500

a=√22500

a=150cm

Assim, o corrimão terá 150 cm. Mas observe que ainda há dois pedaços do corrimão, ambos de 30 cm, assim, a medida do corrimão será 150 cm + 60 cm = 210 cm. Transformando para metros (dividindo por 100) teremos 2,1 m.

Alternativa D.

Referência:

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol. 9. São Paulo: Atual, 1995.

Fonte: Info escola

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