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Polinômios

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O QUE VOCÊ VAI ENCONTRAR AQUI:
  • Definição de polinômios
  • Classificação quanto ao grau e tipo
  • Polinômios iguais
  • Operações com polinômios
  • Fatoração de polinômios
  • No final tem duas videoaulas explicando o assunto

Polinômios

Os polinômios são expressões algébricas formadas por monômios, que são formados por números (coeficientes) e letras (partes literais). As letras de um polinômio representam os valores desconhecidos da expressão. Utilizamos as operações de adição, subtração, multiplicação. O polinômio poderá ter raiz, fração ou potenciação.

Monômios são aquelas expressões com um único produto resultante de uma parte literal e um coeficiente numérico. É o caso de expressões como 2x, 5xy, y/4 ou x2, por exemplo.

Binômios, por sua vez, são aqueles polinômios formados por dois monômios distintos, separados por um operador matemático. Alguns exemplos destas expressões são: 2x +xy e 14z – z2, por exemplo.

Trinômios, como é de se imaginar, consistem naquelas expressões algébricas com três monômios distintos, separados por operadores matemáticos.

Um polinômio, propriamente dito, é uma expressão algébrica com qualquer quantidade de monômios. Fala-se que um polinômio é uma expressão algébrica de infinitos monômios.

 

Classificação de polinômios quanto ao grau

O grau de um polinômio é definido pelo grau de elevação da variável com maior valor de elevação daquela expressão. Não é necessário que a expressão seja completa por outros monômios elevados a um grau diferente daquele que nomeia a classificação.

Um polinômio de primeiro grau é aquela em que todas as variáveis são elevadas apenas ao seu primeiro grau. É o caso de uma expressão como:

2x + 4 – y

Um polinômio de 2º grau é aquele em que o monômio com maior grau de elevação é de segundo grau. É o caso do exemplo:

2x + x2

Um polinômio de 3º grau, em que o monômio a ser elevado pelo expoente mais alto possui mais de uma variável. Neste caso, soma-se os expoentes dos monômios, de forma que a expressão torna-se de terceiro grau.

x³ – 4x² + 3x – 4=0

 

Classificação dos polinômios quanto ao tipo

Há, ainda, dois tipos de polinômios classificados na matemática, divididos entre completos e incompletos. Os polinômios completos são aqueles nos quais a ordem dos expoentes dos polinômios são completos, ou seja, há a ordem decrescente completa dentro daquela expressão algébrica.

É o caso de um exemplo como:

x+ x4 – x3 + x2 – x

Percebe-se, neste caso, a ordem completa dos expoentes sendo representada na expressão, o que nomeia seu tipo.

Os polinômios incompletos, por sua vez, são aqueles em que, ao contrário do caso anterior, não há a ordem completa decrescente dos expoentes da expressão. Neste caso, seja apenas um expoente ou quase todos que estejam “faltando” na expressão, considera-se ele incompleto.

 

Polinômios iguais

 

Dois polinômios podem ser denominados iguais ou idênticos, quando assumem os mesmos valores numéricos para os coeficientes correspondentes. Veja a seguir um exemplo:

Exemplo: Determine os coeficientes do polinômio ay² + by + c , para que ele seja igual ao polinômio y² + 3y + 1.

ay² + by + c = y² + 3y + 1

Para que os polinômios sejam iguais, seus coeficientes devem ser idênticos, sendo assim, os coeficientes do polinômio ay² + by + c, são:

a = 1

b = 3

c = 1

Agora é possível verificar a igualdade entre os dois polinômios

1y² + 3y + 1 = 1y² + 3y + 1

 

Operações com Polinômios

 

Confira abaixo exemplos das operações entre polinômios:

 

Adição de Polinômios

Fazemos essa operação somando os coeficientes dos termos semelhantes (mesma parte literal).

(- 7x3 + 5 x2y – xy + 4y) + (- 2x2y + 8xy – 7y)
– 7x+ 5x2y – 2x2y – xy + 8xy + 4y – 7y
– 7x3 + 3x2y + 7xy – 3y

 

Subtração de Polinômios

O sinal de menos na frente dos parênteses inverte os sinais de dentro dos parênteses. Após eliminar os parênteses, devemos juntar os termos semelhantes.

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COMO ESTUDAR COM SONO

(4x2 – 5ky + 6k) – (3x – 8k)
4x2 – 5xk + 6k – 3xk + 8k
4x– 8xk + 14k

 

Multiplicação de Polinômios

Na multiplicação devemos multiplicar termo a termo. Na multiplicação de letras iguais, repete-se e soma-se os expoentes.

(3x2 – 5x + 8) . (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 – 5x – 16x + 8
-6x3 + 13x2 – 21x +8

 

Divisão de Polinômios

Obs: Na divisão de polinômios utilizamos o método chave. Primeiramente realizamos a divisão entre os coeficientes numéricos e depois a divisão de potências de mesma base. Para isso, conserva-se a base e subtraia os expoentes.

 

Fatoração de Polinômios

Para realizar a fatoração de polinômios temos os seguintes casos:

Fator Comum em Evidência

ax + bx = x (a + b)

Exemplo

4x + 20 = 4 (x + 5)

Agrupamento

ax + bx + ay + by = x . (a + b) + y . (a + b) = (x + y) . (a + b)

Exemplo

8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) . (x + y)

Trinômio Quadrado Perfeito (Adição)

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Exemplo

x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

Trinômio Quadrado Perfeito (Diferença)

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

Exemplo

x2 – 2x + 1 = (x – 1)2

Diferença de Dois Quadrados

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

Exemplo

x2 – 25 = (x + 5) . (x – 5)

Cubo Perfeito (Adição)

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Exemplo

x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3 . x2 . 2 + 3 . x . 22 + 23 = (x + 2)3

Cubo Perfeito (Diferença)

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Exemplo

y3 – 9y2 + 27y – 27 = y3 – 3 . y2 . 3 + 3 . y . 32 – 33 = (y – 3)3

Fontes: Vou passar, estudo pratico e toda matéria

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