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Categoria: Matemática Financeira

Juros e desconto simples

O QUE VOCÊ VAI ENCONTRAR AQUI
  • Juros simples
  • Desconto simples
  • no fim da postagem tem uma videoaula explicando o assunto

Juros e desconto simples

 

Juros Simples:

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funciona a capitalização no sistema de juros simples.

No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.

A expressão matemática utilizada para o cálculo das situações envolvendo juros simples é a seguinte:

Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente – Parte 2

Taxas equivalentes 

São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.

O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.

Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

 

Taxas proporcionais 

são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre;

1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.

 

Taxa real

taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.

Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto afirmar que o ganho real desta aplicação não foram os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período de tempo; desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros.

 

Taxa aparente

taxa aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação.

Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.

 

Taxa acumulada

taxa acumulada de juros com taxas variáveis é normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.

A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou com taxas negativas.

 

Taxa Over

taxa over equivalente é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão do mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento.

Esta prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 90. Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos as operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários.

 

Taxa média

taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica.

Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de termos do próprio conjunto de taxas.

Referências bibliográficas

BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excelâ. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2004.

Esta matéria foi retirada de uma apostila da :

FACULDADE MAUÁ – FAMA  CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSOR: JARBAS THAUNAHY

Na parte dois tem exercícios abaixo proposto pelo Professor Arruda e no final da postagem tem também duas videoaulas e uma apostila para download.

 

Exercícios sobre taxas de juros

(Proporcional, Nominal, Efetiva, Equivalente, Real e Aparente)

1) Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a. m.?

2) Determinar as taxas semestral e mensal, proporcionais à taxa de 24% ao ano.

3) Qual é a taxa proporcional ao ano de uma taxa de 3,5% ao trimestre?

4) Qual a melhor taxa para aplicação? 1% a.m ou 12% a.a

5) A taxa nominal ao ano de uma operação de empréstimo:

a) Nunca indica o real custo da operação de empréstimo.

b) Sempre indica o real custo da operação de empréstimo.

c) Indica o real custo da operação de empréstimo apenas se esta tiver prazo de um mês.

d) Índice o real custo da operação de empréstimo apenas se a freqüência de

capitalização for igual a 2.

6) Um capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, o montante será de ?

Use: (1,07)1/3 = 1,0228  /   (1,07)7/3 = 1,1709 / (1,0228)7 = 1,1709

7) Calcule a taxa efetiva semestral correspondente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal ?

8) Determine a taxa efetiva trimestral correspondente a uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização bimestral.

Use: (1,03)1,5 = 1,0453

9) Qual a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano, com capitalização mensal?

Use: (1,005)12 = 1,0617

10) Que taxa efetiva bimestral corresponde à taxa nominal de 9% ao trimestre, com capitalização mensal?

11) Considere uma empresa que precisa tomar um empréstimo de seis meses. A

melhor alternativa é:

a) 24% ao ano de taxa nominal com capitalização semestral

b) 23% ao ano de taxa nominal com capitalização trimestral

c) 22% ao ano de taxa nominal com capitalização bimensal

d) 21% ao ano de taxa nominal com capitalização mensal

12) José e Maria estão discutindo sobre fazer um investimento pelos próximos

180 dias corridos. José conseguiu com seu gerente uma taxa nominal anual de

12% ao ano capitalizada bimestralmente, enquanto que Maria conseguiu uma

taxa efetiva anual de 12% ao ano. Qual a melhor alternativa?

a) Devem aplicar no banco de José.

b) Devem aplicar no banco de Maria.

c) Tanto faz, as duas alternativas geram o mesmo rendimento.

d) Devem aplicar 50% em cada alternativa.

13) Duas taxas de juro são ditas equivalentes quando:

(i) são taxas de juro compostas e

(ii) quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo período geram mesmo valor de juro.

a) (i) e (ii) são afirmações verdadeiras

b) (i) e (ii) são afirmações falsas

c) (i) é verdadeira e (ii) é falsa

d) (i) é falsa e (ii) é verdadeira

Gabarito:

1) 12,68% 2) 12% a.s.  e  2% a.m. 3) 14% a.a.
4) 1% a.m 5) letra A 6) R$ 234,18 7) 12,62 % a.s.
8) 4,53 % a.t. 9) 6,17% a.a. 10) 6,09% a.b. 11) letra D
12) letra A 13) letra A ————————

 

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Para complementar seus estudos sobre cálculos financeiros:

1 Juros simples e compostos: capitalização e descontos.

2 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente.

3 Planos ou sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos.

4 Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento.

Sistema de amortização misto (SAM)

Sistema de amortização misto (SAM)

Introdução à amortização

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que

Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!

Os principais sistemas de amortização são:

Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento

Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento

O CET, ou Custo Efetivo Total, refere-se ao total de encargos a serem pagos pelo cliente em uma operação de empréstimo ou financiamento. É expresso em forma de percentual anual e inclui as taxas de juros, tributos, tarifas, gravames, IOF, registros, seguros e demais despesas do contrato. Foi instituído pelo Conselho Monetário Nacional, pela Resolução 3.517 de 6 de Dezembro de 2007 e desde março de 2008 tornou-se obrigatório. Todas as instituições financeiras devem informar qual é o CET na efetivação de um contrato de empréstimo ou financiamento e também sempre que solicitado pelo cliente. Além dessas situações, deve estar presente em informes publicitários e peças de marketing que divulguem as taxas que a instituição utiliza.

Para que serve e qual a sua importância?

Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos – Parte 2

 

Sistema de Amortização Crescente – SACRE

Este sistema de amortização é utilizado SOMENTE pela Caixa Econômica Federal.
A diferença básica entre este sistema e os outros é o de apresentar o valor da parcela de amortização superior, proporcionando um redução mais rápida do saldo devedor.
Também neste plano a prestação inicial pode comprometer até 30% da renda, enquanto nos outros o comprometimento máximo é 25%.
O valor das prestações é decrescente

Comparativo SAC SACRE TABELA PRICE – TP
Prestações = Amortização + Juros Decrescentes Decrescentes Constantes
Amortizações Constantes Decrescentes Crescentes
Juros Decrescentes Decrescentes Decrescentes
Vantagem Saldo devedor diminui mais rapidamente em relação ao TP Saldo devedor diminui mais rapidamente em relação a TP ou SAC Prestação inicial menor em relação a calculada pelo SAC oi SACRE
Desvantagem Prestação inicial maior Prestação inicial maior Saldo devedor diminui mais lentamente em relação ao SAC ou SACRE

Veja abaixo o comparativo entre os Sistemas Price x Sacre x SAC

Price x Sacre x SAC

Planos ou Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos

Planos ou sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos

Esta postagem foi desenvolvida da seguinte forma:

Postagem retirada do site matemática didática postada por Alexandre Corrêa, Contador Público no Município de Porto Alegre.  Coloquei também uma Postagem retirada do site Financenter que faz uma comparação entre os Sistemas de Amortização. Duas vídeos aulas sobre o sistema Francês ( Price) e o constante ( SAC ) da disciplina Matemática Financeira ministrada pela professora Maria Lívia Coutinho. Curso de Licenciatura em Matemática a distância da Universidade do Estado da Bahia, UNEB.

Espero que aproveitem bem e bons estudos!

Não esqueça de dar uma olhadinha no meu livro de aventura A Fortaleza do Centro. Coloquei o e-book no Amazon e dá para você ler os 3 primeiros capítulos.

A Fortaleza do Centro

1º Postagem retirada do site matemática didática postada por Alexandre Corrêa, Contador Público no Município de Porto Alegre.

Sistemas de Amortização

Juros Simples

No final da postagem coloquei uma videoaula.

Não esqueça de dar uma olhadinha no meu livro de aventura A Fortaleza do Centro. Coloquei o ebook no Amazon e dá para você ler os 3 primeiros capítulos.

A Fortaleza do Centro

Bons estudos!

 

Juros Simples:

Podemos definir juros como o rendimento de uma aplicação financeira, valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou a quantia paga pelo empréstimo de um capital. Atualmente, o sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, por ser mais lucrativo. Os juros simples eram utilizados nas situações de curto prazo, hoje não utilizamos a capitalização baseada no regime simples. Mas vamos entender como funciona a capitalização no sistema de juros simples.

No sistema de capitalização simples, os juros são calculados baseados no valor da dívida ou da aplicação. Dessa forma, o valor dos juros é igual no período de aplicação ou composição da dívida.

Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 4

Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.

Desconto por fora Juros simples
D = N i n j = P i n
N = Valor Nominal P = Principal
i = taxa de desconto i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos

O valor atual no desconto por fora, é calculado por:

A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)

Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.

Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 3

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:

vreal = 1 + ireal

que pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)

isto é:

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02

o que significa que a taxa real no período, foi de:

ireal = 2%

Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 2

Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:

S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5

Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde

Sn Soma ou montante
P Valor Principal aplicado inicialmente
i taxa unitária
n número de períodos da aplicação

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.

Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto

Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto

Elementos básicos em Matemática Financeira

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A ideia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.

Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla PV.

Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto Parte 5

Duplicatas

Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.

Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.

Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.

Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto Parte 4

Antes, vamos fazer uma comparação com sistema de juros compostos :

Vamos um exemplo prático para definir como calcular.

Qual será o desconto de um título no valor de R$ 9.000,00, à taxa de 9% a.m descontado 3 meses antes do seu vencimento final ?

Dados da operação:

N = 9.000,

I = 9% = 0,09

então vamos usar a fórmula :