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Tag: matemática

Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 9

NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS:

Durante muito tempo, os números naturais eram os únicos números que o homem utilizava. Mas, com o passar do tempo, o homem foi encontrando situações mais difíceis para resolver. No antigo Egito, por exemplo, as terras próximas ao rio Nilo eram muito disputadas por isso os faraós tinham funcionários que mediam e demarcavam os terrenos.
Eles usavam cordas com nós separados sempre pela mesma distância. Em muitos casos, principalmente para efetuar medições, precisou criar outros números que não fossem apenas os números naturais. Surgiram assim, os números fracionários ou racionais.

Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 7

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

MULTIPLICAÇÃO

1) multiplicação de dois números de sinais iguais

observe o exemplo

a) (+5) . (+2) = +10
b) (+3) . (+7) = +21
c) (-5) . (-2) = +10
d) (-3) . (-7) = +21

conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo

2) Multiplicação de dois produtos de sinais diferentes

observe os exemplos

Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 6

ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES

1) parenteses precedidos pelo sinal +

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) + (-4 + 5) = -4 + 5

b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7

2) Parênteses precedidos pelo sinal –

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de – que os precede, devemos trocar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 4

PROPRIEDADE DA ADIÇÃO

1) Fechamento : a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro

exemplo (-4) + (+7) =( +3)

2) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.

exemplo: (+5) + (-3) = (-3) + (+5)

3) Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição.

exemplo: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8

4) Associativa: na adição de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.

Probabilidade básica

PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO

Em um jogo, dois dados são lançados simultaneamente, somando-se, em seguida, os pontos obtidos na face superior de cada um deles. Ganha quem acertar a soma desses pontos. Antes de apostar, vamos analisar todos os possíveis resultados que podem ocorrer em cada soma. Indicando os números da face superior dos dados pelo par ordenado (a, b), onde a é o número do primeiro dado e b o número do segundo, temos as seguintes situações possíveis:

a + b = 2, no caso (1, 1);

a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1)

MMC e MDC – Parte 3

EXERCÍCIOS

(UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?

 

(A)      5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.

(B)       6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.

(C)       7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

(D)      8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.

(E)       9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

MMC e MDC – Parte 2

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O máximo divisor comum, ou MDC, de dois ou mais números inteiros é o maior divisor inteiro comum a todos eles. Por exemplo, o m.d.c. de 16 e 36 é o 4, e denotamos isso por MDC 16, 36 = 8. Já o MDC de 30, 54 e 72 é o 6, o que é denotado por MDC 30, 54, 72 = 6.

Regra geral para calcular o MDC de dois ou mais números. O procedimento geral para o cálculo do MDC, como no caso do MMC, envolve a decomposição primária de cada número.

Propriedade fundamental do MDC. Todo divisor comum de dois ou mais números inteiros é divisor do MDC destes números.

Exemplo: 3 é divisor comum de 30, 36 e 72. Observe que 3 também é divisor de 6, o MDC destes três números.

O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se o maior.

O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.

Exemplo: 120 e 36

120   2                  36    2
60     2                  18    2
30     2                   9     3
15     3                   3     3
5       5                  1      22.32
1       23.3.5

m.d.c ( 120, 36) = 22.3 = 12

O m.d.c também pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando apenas os fatores que dividem simultaneamente.

120 –   36   2 ( * )
60   –   18   2 ( * )
30   –   9     2
15   –   9     3 ( * )
5     –   3     3
5     –   1     5
1     –   1     22.3 = 12

EXERCÍCIOS E VIDEOAULAS NA PARTE 3                VOLTAR PARTE 1

MMC e MDC

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

Coloquei duas explicações que talvez você compreenda melhor, devido aos estilos serem um pouco diferentes.

O mínimo múltiplo comum, ou MMC, de dois ou mais números inteiros é o menor múltiplo inteiro positivo comum a todos eles. Por exemplo, o MMC de 6 e 8 é o 24, e denotamos isso por mmc 6, 8 = 24 Já o MMC de 5, 6 e 8 é o 120, o que é denotado por MMC 5, 6, 8 = 120.

Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto Parte 5

Duplicatas

Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata:
Título de crédito formal, nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e representativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito cambiário.

Obs:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.

Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela dirija-se a um banco para troca-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplicatas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições bancárias.

Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto Parte 4

Antes, vamos fazer uma comparação com sistema de juros compostos :

Vamos um exemplo prático para definir como calcular.

Qual será o desconto de um título no valor de R$ 9.000,00, à taxa de 9% a.m descontado 3 meses antes do seu vencimento final ?

Dados da operação:

N = 9.000,

I = 9% = 0,09

então vamos usar a fórmula :

Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto Parte 2

Exemplos para fixação de conteúdo:

Qual o valor atual atual (A) de um título de uma empresa no valor de R$ 15.000,00 a 2% a.m, descontado 6 meses antes do prazo do seu vencimento?

Resolvendo:

N = 15.000

I = 2% a.m = 24% a.a. (01 ano = 12 meses)

T = 6

Dc = 15000 x 24 x 6  = 2160000

1200                  1200

Dc= 1800

A = 15000 – 1800 = 13200

Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 5

Sistemas Lineares III

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss – astrônomo, matemático e físico alemão – 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 – um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x – 2y = 6

5x – 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 4

Sistemas Lineares I

1 – Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, … , x, como sendo a equação da forma
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + … + an.xn = b onde a1, a2, a3, … an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, … an são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

Exemplos de equações lineares:

2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 3

Matrizes e Determinantes II

1 – Definições:

1.1 – Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3×3) A a seguir :

Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja: