Menu fechado

Tag: números reais

Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais) – Parte 4

 

Conjunto dos Números Irracionais

Então mais curioso ainda você perguntou: “Se os números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração, então existem aqueles que não podem ser expressos desta forma?”

Exatamente, estes números pertencem ao conjunto dos números irracionais. Provavelmente os mais conhecidos deles sejam o número PI (  ), o número de Euler (  ) e a raiz quadrada de dois (  ). Se você se dispuser a calcular tal raiz, passará o restante da sua existência e jamais conseguirá fazê-lo, isto porque tal número possui infinitas casas decimais e diferentemente das dízimas, elas não são periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta é uma característica dos números irracionais.

Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais) – Parte 3

 

Conjunto dos Números Racionais

Esperto por natureza você percebeu que havia mais alguma coisa além disto. No termômetro você viu que entre um número e outro existiam várias marcações. Qual a razão disto?

Foi-lhe explicado então que a temperatura não muda abruptamente de 20° C para 21° C ou de -3° C para -4° C, ao invés disto, neste termômetro as marcações são de décimos em décimos. Para passar de 20° C para 21° C, por exemplo, primeiro a temperatura sobe para 20,1° C, depois para 20,2° C e continua assim passando por 20,9° C e finalmente chegando em 21° C. Estes são números pertencentes ao conjunto dos números racionais.

Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração. O numerador e o denominador desta fração devem pertencer ao conjunto dos números inteiros e obviamente o denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero.

Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais) – Parte 2

 

Conjunto dos Números Inteiros

Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria você tomou conhecimento da existência de números negativos, ao lhe falarem que naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de zero. Curioso você quis saber o que significava isto, então alguém notando o seu interesse, resolveu lhe explicar:

Hoje no final da tarde já estava bastante frio, a temperatura girava em torno dos 3° C, aí ela desceu para 2° C, continuou esfriando e ela abaixou para 1° C e uma hora atrás chegou a 0° C. Se a temperatura continuava a abaixar e já havia atingido o menor dos números naturais, como então representar uma temperatura ainda mais baixa?

Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais)

Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais)

Esta matéria poderá ser pedida também na seguinte forma: Conjuntos numéricos – operações e propriedades

Atenção: no edital do Enem não consta os números irracionais.

 

Definição de Conjuntos Numéricos

Ao agrupamento de elementos com características semelhantes damos o nome de conjunto. Quando estes elementos são números, tais conjuntos são denominados conjuntos numéricos.

Neste tópico estudaremos os cinco conjuntos numéricos fundamentais, que são os conjuntos numéricos mais amplamente utilizados.

 

Conjunto dos Números Naturais

Números reais

Números Reais

O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:

Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ….
Números Inteiros (Z): …, –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …..
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498…., 3,141592….

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:

N U Z U Q U IR ou Q U IR

Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções, as soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Coloquei mais um pouco da matéria para você que quer aprofundar mais no assunto:

O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Existem várias propriedades a respeito dos números reais, que são extensões das propriedades dos números racionais. Essas propriedades estão relacionadas com a ordem dos números reais e com o estudo das operações matemáticas básicas aplicadas aos elementos desse conjunto.

A definição dos números reais depende das definições dos conjuntos dos números racionais e irracionais, que, por sua vez, dependem da definição dos números inteiros. Dessa maneira, todos os números geralmente estudados até o final do Ensino Fundamental e início do Ensino Médio são os números reais.

De posse da definição de números reais, discutiremos as propriedades mais importantes relacionadas com esse conjunto numérico.

Propriedades do conjunto dos números reais

As propriedades a seguir são decorrentes da definição dos números reais e também da inclusão das operações “adição” e “multiplicação” entre os elementos desse conjunto.

O conjunto dos números reais é um conjunto completo

Existe uma relação feita entre o conjunto dos números reais e a reta numérica, que é construída da seguinte maneira: para cada número real, existe um e apenas um ponto representando-o na reta numérica. É possível mostrar que a reta não contém nenhum “furo”, isto é, ponto que não represente número real algum. Portanto, o conjunto dos números reais é completo.

O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado

Ainda avaliando a reta numérica, comparando dois números reais quaisquer, aquele que estiver mais à esquerda é menor do que aquele que estiver mais à direita. Além disso, se estiverem no mesmo ponto, serão iguais. Essa é a ordenação do conjunto dos números reais representada na reta numérica.

Propriedades operatórias dos números reais

Dados os números reais “a”, “b” e “c”, as seguintes propriedades operatórias são válidas:

1 – Associatividade:

a·(b·c) = (a·b)·c

a + (b + c) = (a + b) + c

2 – Comutatividade:

a·b = b·a

a + b = b + a

3 – Existência de elemento neutro único para a soma e para a multiplicação:

a + 0 = a

a·1 = a

4 – Existência de elemento inverso único para a soma e para a multiplicação:

a + (– a) = 0

1 = 1
a

5 – Distributividade:

a · (b + c) = a·b + a·c
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática