Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 20

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POTENCIAÇÃO

A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais

Exemplos:

1) (1,5)² = 1,5 x 1,5 = 2,25
2) (0,4)³ = 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064

vamos lembrar que: são válidas as convenções para os expoentes um e zero.

Exemplos

1) (7,53)¹ = 7,53
2) ( 2,85)⁰ = 1

A operação realizada na potenciação é uma multiplicação e é representada da seguinte forma:

aⁿ = a . a . a . a …

a = base
n = expoente
a . a . a . a … = produto de n fatores iguais que gera como resultado a potência

Para compreender melhor, acompanhe os exemplos abaixo:

⇒ 2³ = 2 . 2 . 2 = 8

2 = base
3 = expoente
2 . 2 . 2 = produto de fatores
8 = potência

Como o expoente é 3, tivemos que repetir a base, que é 2 três vezes, em um produto.

⇒ 5⁴ = 5 . 5 . 5 . 5 = 625

5 = base
4 = expoente
5 . 5 . 5 . 5 = produto de fatores
625 = potência

Como o expoente é 4, tivemos que repetir a base, que é 5 quatro vezes, em um produto.

⇒ 10² = 10 . 10 = 100

10 = base
2 = expoente
10 . 10 = produto de fatores
100 = potência

Como o expoente é 2, tivemos que repetir a base, que é 10 duas vezes, em um produto.

Tipos de potenciação

• Base real e expoente inteiroQuando o expoente é inteiro, significa que ele pode possuir número negativo ou positivo.

⇒ Expoente positivo: Quando a base for um número real e o expoente for positivo, obteremos a potência efetuando o produto dos fatores. Acompanhe alguns exemplos:

2⁺² = 2 . 2 = 4
0,3⁺³ = 0,3 . 0,3 . 0,3 = 0,027
(½ )⁺² = ½ . ½ = ¼

⇒ Expoente negativo: Se o expoente é negativo, devemos fazer o inverso do número, que é trocar numerador com denominador, para o expoente passar a ser positivo. Observe alguns exemplos:

2^-2 = (1/2)² = 1/4

0,3 ^{– 3} = (3/10)^–³ = (10/3)³ = 1000/ 27 = 37,037

(½ )^-2 = (2/1)⁺² = 2 . 2 = 4

⇒ Expoente igual a 1

Quando o expoente for igual a um positivo, a potência será o próprio número da base. Veja os exemplos abaixo:

a¹ = a
2¹ = 2
4¹ = 4
100¹ = 100

⇒ Expoente igual a 0

Se o expoente for 0, a reposta referente à potência sempre será 1. Acompanhe os exemplos:

a⁰ = 1
1000⁰ = 1
25⁰ = 1

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Propriedades da potenciação

As propriedades da potenciação são utilizadas para simplificar os cálculos. Há, no total, cinco propriedades:

1. Produto de potências de mesma base: conserva a base e soma os expoentes. Exemplos:aⁿ . a^m = a^{n + m}
   2² . 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵
   4⁵ . 4² = 4^{5 + 2} = 4⁷
2. Divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. Exemplos:aⁿ : a^m = aⁿ = a^{n – m}
                 a^m
   5⁶ : 5² = 5⁶ = 5^{6 – 2} = 5⁴
   5²
   9² : 9³ = 9² = 9^{2 – 3} = 9^-1
   9³
3. Potência de potência: devemos multiplicar os expoentes. Exemplos:(aⁿ)^m = a^{n . m}
   (7⁴)² = 7^{4 . 2} = 7⁸
   (12³)² = 12^{3 . 2} = 12⁶
4. Potência de um produto: o expoente geral é expoente dos fatores. Exemplos:(a . b)ⁿ = ( aⁿ . bⁿ)
   (4 . 5)² = (4² . 5²)
   (12 . 9)³ = (12³ . 9³)
5. Multiplicação de potências com o mesmo expoente: conserva o expoente e multiplica as bases. Exemplo:aⁿ . bⁿ= (a . b)ⁿ
   4² . 6² = (4 . 6)²
   7³ . 4³ = (7 . 4)³

1) Calcule as potências
a) ( 0,7)²= 0,49
b) (0,3) ²= 0,09
c) (1,2) ²= 1,44
d) (2,5) ²= 6,25
e) (1,7) ²= 2,89
f) (8,4) ²= 70,56
g) (1,1)³= 1,331
h) (0,1)³= 0,001
i) (0,15) ²= 0,0225
j) (0,2)⁴= 0,0016

2) Calcule o valor das expressões
a) (1,2)³ + 1,3 = 3,028
b) 20 – (3,6) ² = 7,04
c) (0,2) ² + (0,8) ² = 0,68
d) (1,5) ² – (0,3) ² = 2,16
e) 1 – (0,9) ² = 0,19
f) 100 x (0,1)⁴ = 0,01
g) 4² : 0,5 – (1,5) ² = 29,75
h) ( 1 – 0,7) ² + ( 7 – 6)⁵= 1,09

Radiciação

A radiciação é a operação inversa da potenciação. É muito utilizada na obtenção de solução de equações e na simplificação de expressões aritméticas e algébricas. Vamos definir essa operação e analisar suas propriedades.
Dados um número real não negativo x e um número natural n ≥ 1, chama-se raiz enésima de x o número real não negativo y tal que yⁿ = x. O símbolo utilizado para representar a raiz enésima de x é  e é chamado de radical. Nesse símbolo, x é o radicando e n é o índice.

Pela definição de radiciação, temos que:

Raiz com índice par

Para um número real a positivo, com n sendo um número natural par e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se a−−√n=b, então bⁿ = a, onde a é o radicando, n é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com .

Nenhum valor de a negativo (-a) tem definição nesse caso.

Observação: quando o índice não aparecer no radical, isso indica que n = 2 e teremos uma raiz quadrada.

Exemplos:

Raiz com índice ímpar

Sendo a um número real, positivo ou negativo, com m sendo um número natural ímpar e positivo, maior que 1, tem-se um b, tal que, se a−−√m=b, então b^m = a, onde a é o radicando, m é o índice, b é raiz e √ é o radical. Com  .

Nesse caso é possível obtermos raízes negativas dentro do conjunto dos números reais (ℝ).

Exemplos:

Propriedades

1. Para o radicando que tenha, como resultado de uma fatoração, expoente igual a seu índice, então este radicando é igual à raiz procurada.
   Exemplos:
   
2. Podemos dividir o radicando e o índice por um mesmo número real, desde que este seja diferente de zero e maior que um, e divisor comum do radicando e do índice.
   
   Exemplos:
3. Para resolvermos a raiz m-esima de uma raiz n-ésima, multiplicamos os índices entre si mantendo intacto o radical interno.
   Exemplos:
   
4. A raiz n-ésima de um produto é igual ao produto das raízes n-ésimas.Exemplos:
   
5. A raiz n-ésima de um quociente (divisão) de a por b é igual ao quociente entre as raízes n-ésimas.
   Exemplos:
   

Fontes: Mundo educação e Info escola

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÕES EM NÚMEROS DECIMAIS

Para transformar uma fração em números decimais, basta dividir o numerador pelo denominador (obs o numerador é o números de cima da fração e o denominador o números debaixo)

Exemplos

transformar em números decimais as frações irredutíveis

1) 5/4 = 5 : 4 = 1,25 que será um, número decimal exato
2) 7/9 = 7 : 9 = 0,777… é uma dizima periódica simples
3) 5/6 = 5: 6 = 0,8333…… é uma dizima periódica composta

outros exemplos

a) 4,666… dízima periódica simples (período 6)
b) 2,1818….dízima periódica simples ( período 18)
c) 0,3535…. dízima periódica simples (período 35)
d) 0,8777…. dízima periódica composta (período 7 e parte não periódica 8 )
e) 5,413333…. dízima periódica composta (período 3 e parte não periódica 41)

EXERCÍCIOS

1) Transforme em números decimais as frações:

a) 10/4 =
b) 4/5 =
c) 1/3 =
d) 5/3 =
e) 14/5 =
f) 1/6 =
g) 2/11 =
h) 43/99 =
i) 8/3 =

2) Transforme as frações decimais em números decimais :

a) 9/10 = (R: 0,9)
b) 57/10 = (R: 5,7)
c) 815/10 = (R: 8,15)
d) 3/100 = (R: 0,03)
e) 74/100 = (R: 0,74)
f) 2357/1000 = (R: 2,357)
g) 7/1000 = (R: 0,007)
h) 15/10000 = (R: 0,0015)
i) 4782/10000 = (R: 0,4782)

Esta matéria foi retirada do Blog JMP25

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