Equivalência e implicação lógica – Parte 3

2º exemplo: p ⇒ q → p Vamos verificar esta implicação.

Atenção: A intenção aqui, caro aluno, é que você perceba que o ponto fundamental da implicação lógica ( P implica uma proposição Q, indica-se por P ⇒ Q), é que sempre que temos um antecedente verdadeiro, teremos um consequente verdadeiro também.

Vamos verificar se “p” de fato implica a proposição composta “q → p” (p ⇒ q → p)

Atenção: A proposição condicional q→p (lê-se: “se q então p”) é uma proposição composta que só admite valor lógico falso no caso em que a proposição q é verdadeira e a proposição p é falsa, sendo verdade nas demais situações. (veja a 3ª coluna da tabela seguinte)

p ⇒ q → p, pois o condicional p→ (q→p) é tautológica.

Perceba que quando p é verdadeira (1ª e 2ª colunas), q→p é verdadeira também, logo dizemos que p implica a proposição composta q → p. (p ⇒ q → p)

Vamos agora mostrar as implicações no 3º e 4º exemplos.

3º exemplo: p Λ q ⇒ p v q

Caro aluno, não se assuste com o tamanho das tabelas-verdade. Você deve organizar as colunas, e para iniciar, atribua todos os valores lógicos possíveis para as proposições simples p e q. (são quatro situações; isto é, são quatro linhas).

Para compreender a tabela acima, você deverá retomar as operações da conjunção e disjunção, além, obviamente, da condicional.

Observe que na 3ª coluna (p Λ q), temos uma conjunção, e que ela é logicamente verdadeira apenas quando as proposições simples p e q são ambas verdadeiras, e logicamente falsas nas demais situações.

Observe que na 4ª coluna (p v q), temos uma disjunção, e que ela é logicamente falsa apenas quando as proposições simples p e q são ambas falsas, e logicamente verdadeiras nas demais situações. Até aqui, tudo bem? Se ficou claro, então vamos entender melhor a 5ª coluna.

Na 5ª e última coluna, temos a condicional (p Λ q) → (p v q) logicamente verdadeira para todas as situações, pois a condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente falso.

Podemos verificar a implicação p Λ q ⇒ p v q, por meio da condicional (p Λ q) → (p v q), pois, neste exemplo, ela é sempre verdadeira e, portanto, tautológica. Você também pode verificar a implicação dada observando que quando a proposição p Λ q é verdadeira, temos que p v q, também, é verdadeira (1ª linha). Logo, está verificada a implicação dada.

4º exemplo: p ⇒ p v q

Neste 4º exemplo , também verificamos a implicação p ⇒ p v q , pois a condicional p → (p v q) é tautológica.

Observe que quando a proposição p é verdadeira, temos que p v q, também, é verdadeira (1ª e 2ª linhas). Logo, está verificada a implicação dada.

Observação O fato de dizer que uma proposição P implica uma proposição Q, não garante dizer o caminho inverso, isto é, que Q também implica P.

Abaixo estudaremos as situações que envolvem o caminho de ida e de volta quando consideramos as implicações. Neste caso chamaremos de equivalências lógicas.

Equivalência Lógica

Continua na parte 4