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Produtos notáveis

Quando algumas expressões algébricas possuem características comuns ao serem resolvidas, são chamadas de produtos notáveis, pois respeitam uma lógica matemática. Esses produtos podem ser resolvidos através da multiplicação distributiva ou por uma fórmula.

Através da fórmula, reduzimos os cálculos e o tempo de resolução do exercício, propiciando uma maior rapidez na resolução das questões (uma praticidade bastante almejada).

Para alguns, a memorização de fórmulas é um problema, por isso, sempre que a memória falhar, não se preocupe, aplique a multiplicação distributiva que você obterá o mesmo resultado, afinal de contas, essas fórmulas foram determinadas através da realização dessa técnica.

Observe nos produtos notáveis abaixo:

Produto da Soma pela diferença de dois termos

Na soma pela diferença, sabemos que através da multiplicação distributiva devemos multiplicar cada termo do primeiro parêntese pelos termos do segundo parêntese, respeitando a regra de sinais.

Portanto:

(a + b) (a – b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a² – ab + ab – b²

(a + b) (a – b) = a² – b²

Observe que o termo (– ab) e o termo (+ ab) se anulam, levando ao seguinte resultado: a²- b².

Quadrado da soma de dois termos

(a + b)² = (a + b) . (a + b) = a.a + a . b +b.a + b.b =  a² + 2ab +b²

Quadrado da diferença de dois termos

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( a – b )² = (a – b) . (a – b) = a.a + a(-b) –b.a –b(-b) = a² – 2ab + b²

Cubo da soma de dois termos

(a+b)³ = (a + b) . (a + b) . (a + b) =

= (a² + a . b + a . b + b²) . (a + b) =

= ( a² + 2 . a . b + b² ) . ( a + b ) =

= a³ +2. a² . b + a . b² + a² . b + 2 . a . b² + b² =

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Cubo da diferença de dois termos

(a – b)3 = (a – b) . (a – b) . (a – b) =

= (a² – a . b – a . b + b²) . (a – b) =

= (a² – 2 . a . b + b²) . (a – b) =

= a³ – 2. a² . b – a . b² – a² . b + 2 . a . b² – b² =

A³ – 3 . a² . b + 3. a . b² – b³

Fonte: Pesquisa escolar e Brasil escola

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