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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 5

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Sistemas Lineares III

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss – astrônomo, matemático e físico alemão – 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 – um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x – 2y = 6

5x – 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 4

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Sistemas Lineares I

1 – Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, … , xn , como sendo a equação da forma
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + … + an.xn = b onde a1, a2, a3, … an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, … an são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

Exemplos de equações lineares:

2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 3

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Matrizes e Determinantes II

1 – Definições:

1.1 – Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3×3) A a seguir :

Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 2

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DETERMINANTES

Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .

É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .

Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

  • O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
  • det (A) = ½ A½ = ad – bc
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