Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 4

Sistemas Lineares I

1 – Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x₁, x₂, x₃, … , x_n, como sendo a equação da forma
a₁.x₁ + a₂.x₂ + a₃.x₃ + … + a_n.x_n = b onde a₁, a₂, a₃, … a_n e b são números reais ou complexos.
a₁, a₂, a₃, … a_n são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

Exemplos de equações lineares:

2x₁+3x₂ =7(variáveis ou incógnitas x₁ e x₂,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

-x₁ + 3x₂ -7x₃ + x₄ = 1 (variáveis x₁, x₂ , x₃ e x₄, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1)

2x + 3y + z – 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).
Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea.

2 – A solução de uma equação linear

Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 36, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado (4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], … , etc.

Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas.

Seja por exemplo: x + y + z = 5

As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que
3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5); … , que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a afirmar que as soluções são osternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), … , ou seja, existem infinitas soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.

De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três variáveis, são ternos ordenados; de quatrovariáveis, são quadrasordenadas; … .
Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n – uplas (lê-se ênuplas) ordenadas.

Assim, se a ênupla ordenada (r₁, r₂, r₃ , … , r_n) é solução da equação linear
a₁.x₁ + a₂.x₂ + a₃.x₃ + … + a_n.x_n = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para
x₁ = r₁, x₂ = r₂ , x₃ = r₃ , … , x_n = r_n e poderemos escrever:
a₁.r₁ + a₂.r₂ + a₃.r₃ + … + a_n.r_n = b.

3 – Exercícios resolvidos:

1 – Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x – 7y + 2z = 5, qual o valor de p?

Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 – 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14.

2 – Escreva a solução genérica para a equação linear 5x – 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado
(a , b , g ) é solução.

Solução: Podemos escrever: 5a – 2b + g = 14. Daí, tiramos: g = 14 – 5a + 2b . Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (a , b , 14 – 5a+ 2b ).

Observe que arbitrando-se os valores para a e b , a terceira variável ficará determinada em função desses valores. Por exemplo, fazendo-se a = 1, b= 3, teremos
g = 14 – 5a + 2b = 14 – 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado
(a , b , 14 – 5a + 2b ) a solução genérica.

Agora resolva estes:

1 – Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?
Resposta : S = f

2 – Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação
3x + 4y – 5z + 2t = 10.
Resposta : -17

Sistemas Lineares II

1 – Sistema linear

É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x_1,x₂, x₃, … , x_n) do tipo:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + … + a_1nx_n = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + … + a_2nx_n = b₂a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + … + a_3nx_n = b₃………………………………………………………..
………………………………………………………..
a_m1x₁ + a_m2x₂ + a_m3x₃ + … + a_mnx_n = b_n

Exemplo:
3x + 2y – 5z = -8
4x – 3y + 2z = 4
7x + 2y – 3z = 2
0x + 0y + z = 3

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Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a_11,a₁₂, … , a_1n, … , a_m1, a_m2, …, a_mn são denominados coeficientes e b_1,b₂, … , b_n são os termos independentes.A ênupla (a ₁, a ₂ , a ₃ , … , a _n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y – z = 11
x + 2z = 4
3x – y – z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:
1 – Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.
Exemplo: Os sistemas lineares

S₁:	2x + 3y = 12
	3x – 2y = 5

S₂:	5x – 2y = 11
	6x + y = 20

são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!

2 – Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3 – Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

4 – Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.

5 – Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 – Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b₁ = b₂ = b₃ = … = b_n = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x – 3y + 5z = 0
5x – 2y + z = 0

2 – Exercícios Resolvidos

2.1 – UEL – 84 (Universidade Estadual de Londrina)
Se os sistemas

S₁:	x + y = 1
	x – 2y = -5

S₂:	ax – by = 5
	ay – bx = -1

são equivalentes, então o valor de a² + b² é igual a:

a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10

Solução:

Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S₁:
x + y = 1
x – 2y = -5

Subtraindo membro a membro, vem: x – x + y – (-2y) = 1 – (-5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.

Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S₂. Logo, substituindo em S₂ os valores de x e y encontrados para o sistema S₁, vem:
a(-1) – b(2) = 5 Þ – a – 2b = 5
a(2) – b (-1) = -1 Þ 2a + b = -1
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:
-2a – 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho),
fica: -3b = 9 \ b = – 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em azul), teremos:
2 a + (-3) = -1 \ a = 1.
Portanto, a² + b² = 1² + (-3)² = 1 + 9 = 10.
Portanto a alternativa correta é a letra E.

2.2 – Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,
2x – my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.

Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8

Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)

Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos,NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.

Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.

Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:

a) 2x + 5y .- ..z = 10
………….3y + 2z = ..9
…………………3z = 15

b) 3x – 4y = 13
…..6x – 8y = 26

c) 2x + 5y = 6
….8x + 20y = 18

Resposta:
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.
c) sistema impossível. Não admite soluções.

Sistemas Lineares III

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

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