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Tag: sistemas lineares

Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 5

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Sistemas Lineares III

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss – astrônomo, matemático e físico alemão – 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 – um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x – 2y = 6

5x – 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 4

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Sistemas Lineares I

1 – Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, … , xn , como sendo a equação da forma
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + … + an.xn = b onde a1, a2, a3, … an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, … an são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

Exemplos de equações lineares:

2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 3

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Matrizes e Determinantes II

1 – Definições:

1.1 – Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3×3) A a seguir :

Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 2

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DETERMINANTES

Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .

É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .

Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

  • O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
  • det (A) = ½ A½ = ad – bc
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Sistemas Lineares – Parte 3

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Introdução aos sistemas lineares

Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Tipo do Recipiente  I II III
A 4 3 2
B 5 2 3
C 2 2 3

Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Montagem do sistema linear

4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42
3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27
2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.

Equação linear

É uma equação da forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + … + a1n xn = b1

onde

  • x1, x2, …, xn são as incógnitas;
  • a11, a12, …,a1n são os coeficientes (reais ou complexos);
  • b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares

  1. 4 x + 3 y – 2 z = 0
  2. 2 x – 3 y + 0 z – w = -3
  3. x1 – 2 x2 + 5 x3 = 1
  4. 4i x + 3 y – 2 z = 2-5i

Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.

Exemplos de equações não-lineares

  1. 3 x + 3y R[x] = -4
  2. x2 + y2 = 9
  3. x + 2 y – 3 z w = 0
  4. x2 + y2 = -9

Solução de uma equação linear

Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:

a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1

Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na equação dada, teremos:

2×5 + 3×6 – 2×7 = 14

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +…+ a2n xn = b2
… … … …
am1 x1 + am2 x2 +…+ amn xn = bn

onde

  • x1, x2, …, xn são as incógnitas;
  • a11, a12, …, amn são os coeficientes;
  • b1, b2, …, bm são os termos independentes.

Solução de um sistema de equações lineares

Uma sequência de números (r1,r2,…,rn) é solução do sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 +…+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +…+ a2n xn = b2
… … … …
am1 x1 + am2 x2 +…+ amn xn = bn

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4
x + 3y = 2
x + 5y = 2

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Consistência de Sistemas Lineares

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.

  1. Se tem uma única solução, o sistema é determinado.
  2. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.

Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.

Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções

Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -1
2x – y = 8

Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

4x + 2y = 100
8x + 4y = 200

Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.

x + 3y = 4
x + 3y = 5

Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:

S1 3x + 6y = 42
2x – 4y = 12
S2 1x + 2y = 14
1x – 2y =  6

pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.

Operações elementares sobre sistemas lineares

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

  1. Troca de posição de duas equações do sistema
    Troca a Linha 1 com a Linha 3
    x + 2y – z = 2
    2x-3y+2z=0
    4x + y – 5z = 9    		 ~ 4x + y – 5z = 9
    2x-3y+2z=0
    x + 2y – z = 2
  2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo
    Multiplica a Linha 1 pelo número 3
    x + 2y – z = 2
    2x-3y+2z=0
    4x+y-5z=9    		 ~ 3x + 6y – 3z = 6
    2x-3y+2z=0
    4x+y-5z=9
    A equação resultante fica na linha 1
  3. Adição de duas equações do sistema
    Adição da Linha 2 com a Linha 3
    x+2y-z=2
    2x -3y + 2z = 0
    4x + y – 5z = 9    		 ~ 3x+6y-3z=6
    2x-3y+2z=0
    6x – 2y – 3z = 9
    A equação resultante fica na linha 3

Resolução de sistemas lineares por escalonamento

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

3x + y + z = 20
2x – y – z = -15
-4x + y -5z = -41

Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.

Passo 1: L1-L2->L1
3x + 1y + 1z = 20
2x – 1y – 1z = -15
-4x+1y-5z=-41		 ~ 1x + 2y + 2z = 35
2x-1y-1z=-15
-4x+1y-5z=-41

 

Passo 2: L2-2.L1->L2
1x + 2y + 2z = 35
2x – 1y – 1z = -15
-4x+1y-5z=-41		 ~ 1x+2y+2z=35
0x – 5y – 5z = -85
-4x+1y-5z=-41

 

Passo 3: L3+4.L1->L3
1x + 2y + 2z = 35
0x-5y-5z=-85
-4x + 1y – 5z = -41		 ~ 1x+2y+2z=35
0x-5y-5z=-85
0x + 9y + 3z = 99

 

Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3
1x+2y+2z=35
0x – 5y – 5z = -85
0x + 9y + 3z = 99		 ~ 1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
0x + 3y + 1z = 33

 

Passo 5: L3-3.L2->L3
1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
0x + 3y + 1z = 33		 ~ 1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x + 0y – 2z = -18

 

Passo 6: (-1/2)L3->L3
1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x + 0y – 2z = -18		 ~ 1x+2y+2z=35
0x+1y+1z=17
0x + 0y + 1z = 9

 

Passo 7: L2-L3->L2
1x+2y+2z=35
0x + 1y + 1z = 17
0x + 0y + 1z = 9		 ~ 1x+2y+2z=35
0x + 1y + 0z = 8
0x+0y+1z=9

 

Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1
1x + 2y + 2z = 35
0x + 1y + 0z = 8
0x + 0y + 1z = 9		 ~ 1x + 0y + 0z = 1
0x+1y+0z=8
0x+0y+1z=9

 

Passo 9: Simplificar coeficientes
1x + 0y + 0z = 1
0x + 1y + 0z = 8
0x + 0y + 1z = 9		 ~ x = 1
y = 8
z = 9

Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.

Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

2x – y + 3z = 0
4x + 2y – z = 0
x –  y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.

Regra de Cramer

Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X).

Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

a11 x1 + a12 x2 +…+ a1j xj +…+ a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 +…+ a2j xj +…+ a2n xn = b2
… … … …
an1 xn + an2 xn +…+ anj xj +…+ ann xn = bn

A este sistema podemos associar algumas matrizes:

  • Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A.
    Matriz dos coeficientes
    a11 a12 … a1j … a1n
    a21 a22 … a2j … a2n
    …  …  …  …  …  …
    an1 an2 … anj … ann
  • Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes.
    Matriz Aumentada
    a11 a12 … a1j … a1n b1
    a21 a22 … a2j … a2n b2
    …  …  …  …  …  …
    an1 an2 … anj … ann bn
  • Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema.
    Matriz da incógnita xj
    a11 a12 … b1 … a1n
    a21 a22 … b2 … a2n
    …  …  …  …  …  …
    an1 an2 … bn … ann

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az.

Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,…,n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:

xj = det(Aj) / det(A)

Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do sistema forem iguais a zero.

Um sistema impossível: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 27
1x – 2y + 3z = 15
3x + 1y + 7z = 40

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo.

2 3 4
1 -2 3
3 1 7
2 3 4 27
1 -2 3 15
3 1 7 40

Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o determinante da sub-matriz 3×3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:

2 3 27
1 -2 15
3 1 40

Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 na última linha!)

2x + 3y + 4z = 27
1x – 2y + 3z = 15
3x + 1y + 7z = 42

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo:

2 3 4
1 -2 3
3 1 7
2 3 4 27
1 -2 3 15
3 1 7 42

Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então o sistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y em função de z.

Um sistema com solução única: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 27
1x – 2y + 3z = 15
3x + 1y + 6z = 40

A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.

2 3 4
1 -2 3
3 1 6
27
15
40

Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das três equações, temos:

Ax= 27 3 4
15 -2 3
40 1 6
Ay= 2 27 4
1 15 3
3 40 6
Az= 2 3 27
1 -2 15
3 1 40

Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:

x = det(Ax)/det(A) = 65/7
y = det(Ay)/det(A) =  1/7
z = det(Az)/det(A) = 14/7

Artigo retirado do site da sercomtel

Exercícios para praticar:

 

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Sistemas Lineares – Parte 2

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Sistemas lineares

Definição

Sistemas lineares são conjuntos de equações lineares. Uma equação linear, por sua vez, é toda equação que pode tomar a forma:

anxn + an – 1xn – 1 + … + a3x3 + a2x2 + a1x1 = b.

Por exemplo, 5x + 2y + z = 12 ou 0,2x – 15y = 0. Na equação linear sempre aparecem coeficientes e variáveis. No primeiro exemplo, os coeficientes são 5, 2 e 1 (implícito), e as variáveis são x, y e z.

As equações lineares podem ter um grupo de valores que, substituindo as variáveis, as tornam verdadeiras. Por exemplo:

5 x + 2 y + z = 12 \!\,

O conjunto de valores (2,1,0) torna essa equação verdadeira:

5 (2) + 2 (1) + 0 = 12 \Rightarrow 10 + 2 + 0 = 12 \Rightarrow 12 = 12 \!\,

Os valores que tornam a equação linear verdadeira são chamados soluções da mesma.

O sistema linear é composto por duas ou mais equações, geralmente apresentadas no seguinte formato:

\left\{\begin{matrix} a_{n} x_{n} + a_{n-1} + x_{n-1} + ... + a_{2} x_{2} + a_{1} x_{1} = b \\ c_{n} x_{n} + c_{n-1} + x_{n-1} + ... + c_{2} x_{2} + c_{1} x_{1} = d \\ \vdots \end{matrix}\right.

Para estas equações podem haver um conjunto de valores que só serão a solução do sistema se forem solução de cada equação. Assim, no sistema:

\left\{\begin{matrix} 6x + 3y = 24 \\ 4x - y = 4 \end{matrix}\right.

Percebe-se que a solução única capaz de satisfazer a ambas as equações é o par (2,4). O sistema acima é chamado de sistema linear a 2 incógnitas, e portanto admite soluções que são pares ou duplas. De modo genérico, um sistema será linear a n incógnitas (ou variáveis) e terá por solução uma n-upla (lê-se “enupla”) do tipo (α1, α2, α3, … αn). Conforme veremos mais adiante, um sistema apresenta melhores condições de ser resolvido (ou seja, de ter sua solução encontrada) caso tenha um número de equações igual ao número de incógnitas.

Classificação

Os sistemas lineares podem ser classificados quanto a possibilidade de obtenção de soluções, dentro do conjunto numérico ao qual os sistemas devem ser resolvidos. Inicialmente, encontramos dois tipos de sistemas:

  • impossíveis (ou inconsistentes) são os sistemas que não têm solução, geralmente por conterem equações lineares que se contradizem. Por exemplo:
    \left\{\begin{matrix} x + y = 10 \\ x + y = 12 \end{matrix}\right.
    Observar que as equações apresentam o inconveniente de apresentar a mesma soma, mas com resultados diferentes, o que leva à impossibilidade de resolver o sistema. O sistema impossível (SI) sempre resulta numa contradição. Vale ressaltar que o conjunto numérico ao qual a solução pertence é fundamental na determinação da possibilidade do sistema; por exemplo:

    \left\{\begin{matrix} x + 2y = 10 \\ x - y = 16 \end{matrix}\right.
    É considerado impossível dentro do conjunto dos números naturais, pois não há nenhum número natural que somado em dobro 2y a outro número natural x resulte em um valor menor do que ele próprio y somado ao mesmo número x. A solução real, (14,-2), é descartada se restringirmos a solução ao conjunto de números naturais (-2 não é natural).
  • possíveis (ou consistentes) são todos os sistemas que não levam a uma contradição, e portanto admitem soluções dentro do conjunto numérico ao qual estão designados. Os sistemas possíveis, por sua vez, se subdividem em dois tipos:
    • possíveis determinados (SPD) são os sistemas que possuem apenas uma solução; é possível identificar uma n-upla capaz de resolver todas as equações, única. Como exemplo, além daquele citado na seção anterior, o sistema:
    \left\{\begin{matrix} 3x + 2y = -2 \\ x + 2y = 10 \end{matrix}\right.
    Permite como solução real a dupla (-6, 8).
    • possíveis indeterminados (SPI) são os sistemas que permitem infinitas soluções, porque apresentam os chamados graus de liberdade, ou seja, permitem soluções arbitrárias. Por exemplo, o sistema:
    \left\{\begin{matrix} x - y = 8 \\ 2x - 2y = 16 \end{matrix}\right.
    Permite uma infinidade de soluções como (10,2), (12,4), (19,11), etc. Em todas elas, basta que a relação entre o primeiro elemento e o segundo seja (α,α – 8). Também é indeterminado o sistema:

    \left\{\begin{matrix} x + y + z = 10 \\ x + y - 2z = 4 \end{matrix}\right.
    Pois apresenta mais incógnitas do que equações, sendo por isso impossível “trabalhar” as incógnitas de modo a obter valor preciso para cada uma. A solução é qualquer tripla do tipo (α, 8 – α, -2). Observar que o terceiro elemento pode ser definido, mas não os dois outros, de modo que essa é a mesma situação do sistema indeterminado do exemplo anterior.

Sistemas equivalentes

Diz-se que dois sistemas lineares são equivalentes se, e somente se, apresentam a(s) mesma(s) n-upla(s) como solução(ões). Assim, os sistemas:

\left\{\begin{matrix} 6x + 2y = -2 \\ 8x + y = -6\end{matrix}\right.
E

\left\{\begin{matrix} 2x - y = -4 \\ 4x + 3y = 2\end{matrix}\right.
Ambos apresentam como solução (-1, 2). Ambos são sistemas equivalentes, portanto.

Um sistema equivalente constitui, de certo modo, apenas um desenvolvimento de outro sistema, das equações desse outro sistema devidamente transformadas. A relação de equivalência está presente desde situações mais óbvias (quando dois sistemas são em tudo iguais, exceto pela ordem das equações lineares, por exemplo) até situações mais complexas, nas quais é preciso multiplicar e somar as equações para obter as mesmas equações de outro sistema. No exemplo dado, o segundo sistema foi formado a partir de duas equações:

  • 2x – y = – 4 é a subtração de 8x + y = – 6 por 6x + 2y = – 2
  • 4x + 3y = 2 é a subtração de 2(6x + 2y = – 2) por 8x + y = – 6

A equivalência de sistemas é fundamental para transformação dos mesmos, e eventual resolução por método de escalonamento, que será discutido mais adiante.

Resolução de sistemas

Os sistemas lineares podem ser resolvidos (ou seja, ter a solução encontrada) através de diferentes métodos. Aqui examinar-se-á o método de escalonamento, e no próximo capítulo, o método ou regra de Cramer, que utiliza-se de matrizes.

O método do escalonamento permite resolver sistemas lineares de n equações a n incógnitas. Caso existam mais incógnitas do que equações, o método não funcionará, ou seja, ele não permite resolver sistemas com grau de liberdade maior ou igual a 1. Já os sistemas com mais equações do que incógnitas podem ser resolvidos, desde que não hajam contradições que o tornem SI.

Escalonamento

Classificado o sistema como SPD ou SPI, pode ser feito o escalonamento, que consiste basicamente em deixar as equações do sistema na forma:

\left\{\begin{matrix} a_{n} x_{n} + a_{n-1} x_{n-1} + \cdots + a_{1} x_{1} = b \\ c_{n-1} x_{n-1} + \cdots + c_{1} x_{1} = d \\ \vdots \\ e_{1} x_{1} = f \end{matrix} \right.

Ou seja, o sistema deve ter diversas equações, cada uma com um número crescente ou decrescente de incógnitas, de modo que a última se reduza a apenas uma incógnita. Isso é feito com as transformações adequadas – sempre é possível “zerar” uma das incógnitas na equação pela soma/subtração da equação anterior que contenha essa incógnita. Exemplificando:

\left\{\begin{matrix} 8x + 4y + 5z = -23 \\ 4x + 8y + 1z = -7 \\ -2x - 10y + 2z = 0\end{matrix}\right.

Inicialmente, vamos eliminar o termo composto pela variável x nas duas últimas equações, a partir da primeira. Para tanto, inicialmente multiplicamos a segunda equação por -2 e a terceira por 4. Depois, somamos as equações a primeira e obtemos:

\left\{\begin{matrix} 8x + 4y + 5z = -23 \\ -8x - 16y - 2z = 14 \\ -8x - 40y + 8z = 0\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 8x + 4y + 5z = -23 \\ 0x - 12y + 3z = -9 \\ 0x - 36y + 13z = -23\end{matrix}\right.

A continuar o processo, pode-se trabalhar a segunda e a terceira equação linear para obter na terceira uma equação a uma variável, que arbitrariamente escolhemos ser z. Para tanto, vamos multiplicar a segunda equação por -3, e então somá-la à terceira equação:

\left\{\begin{matrix}8x + 4y + 5z = -23 \\ 36y - 9z = 27 \\ -36y + 13z = -23\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}8x + 4y + 5z = -23 \\ 36y - 9z = 27 \\ 0y + 4z = 4\end{matrix}\right.

A partir desta última equação, e em geral em qualquer sistema resolvido por escalonamento, é possível encontrar o valor de uma primeira variável, no caso específico:

4z = 4 \Rightarrow z = 1\!\,

Substituindo o valor encontrado para z na equação da segunda linha, temos:

36y - 9z = 27 \Rightarrow 36y - 9(1) = 27 \Rightarrow y = 1

Por fim, é possível substituir esses dois valores na primeira equação:

8x + 5y + 4z = -23 \Rightarrow 8x + 5(1) + 4(1) = -23 \Rightarrow 8x = -32 \Rightarrow x = -4

A solução do sistema é, portanto, (-4,1,1).

Assim resolvem-se os sistemas lineares pela técnica do escalonamento: progressivamente vão obtendo-se os valores das variáveis, até que todas as equações possam ser resolvidas. Trata-se de um método prático, que inclusive é utilizado em computadores para resolução de sistemas lineares (embora o enfoque computacional seja um tanto mais complicado e envolva matrizes).

Sistemas com grau de liberdade

É usando na estatística

Método de Gauss

O método de Gauss é um método geral de resolver sistemas de equações lineares, consistindo de uma sequência de passos simples que reduzem o sistema até que a solução se torna óbvia.

Esta matéria foi retirada do site Wikilivros

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Sistemas Lineares – Parte 1

eder sabino carlos Singular: 0 comentário

Este post foi montagem da seguinte forma:

Tem três artigos explicando bem o assunto. Então sugiro que veja os três antes de estudar e estudo o artigo que melhor se adapte a você.

No final dos artigos tem exercícios com resposta, mas sem resolução.

E no final do post tem uma vídeo aula.

Bons Estudos!

1ª Artigo:

Sistemas Lineares

Definição

É todo sistema que pode ser definido em que  se têm “m” equações a “n” incógnitas do tipo a seguir:

Exemplos de fixação de definição

1) O sistema S1, informado abaixo, é um sistema linear com 3 equações e 3 variáveis de primeiro grau.

S1 =        2x + 4y –z = 4

-2x + 3y + 4z = 7

X + y + 5z = 9

2) O sistema S2, informado abaixo, é considerado um sistema linear com 04 equações e 3 variáveis.

S2 =        5x + 4y + z = 5

-3x + 7y + 3y =6

X + y + 4z = 8

4x + 2y – 5z = 15

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