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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 3

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Matrizes e Determinantes II

1 – Definições:

1.1 – Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3×3) A a seguir :

Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício!

1.2 – Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:
cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = – 10.

2 – Teorema de Laplace

  • O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
  • Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
  • Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
  • Pierre Simon Laplace – (1749-1827) – Matemático e astrônomo francês.

3 – Cálculo da inversa de uma matriz.

a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde Ié a matriz identidade de ordem n.

b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.
Símbolo: cof A .

c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:

Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .

Exercícios propostos

1 – Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i – j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:

*a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4

2 – UFBA-90 – Calcule o determinante da matriz:

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Resposta: 15

3 – Considere a matriz A = (aij)4×4 definida por aij = 1 se i ³ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resposta: 12

4 – As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:

*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20

5 – Dadas as matrizes A = (aij)3×4 e B = (bij)4×1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento c12 da matriz C = A.B é:

a)12
b) 11
c) 10
d) 9
*e) inexistente

Uma matriz inversível

FUVEST – 1999 – 1ª fase – Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz 2A = A2, então o determinante de A será:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

SOLUÇÃO:

Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero.
Se 2 A = A2, então os seus determinantes são iguais, ou seja: det(2 A) = det(A2)

Sabemos que sendo det(A) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.A) onde k é um número inteiro positivo, será igual a kn . det(A). Para revisar, clique AQUI.

Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem:
det(2 A) = 22.det(A)

Sabemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B).

Então, det(A2) = det(A . A) = det(A).det(A)

Substituindo na igualdade det(2 A) = det(A2), as expressões obtidas anteriormente, vem:
22.det(A) = det(A).det(A)
4.det(A) – [det(A)]2 = 0

Colocando det(A) em evidencia, fica:
det(A).[4 – det(A)] = 0

Daí, conclui-se que det(A) = 0 OU det(A) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é não nulo e, portanto, a solução det(A) = 0 não serve. Portanto, det(A) = 4, e a alternativa correta é a de letra E.

Sistemas Lineares I

1 – Equação linear

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