Menu fechado

Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 3

APOSTILAS PARA TODOS OS CARGOS PREFEITURA PORTO VELHO 2019

APOSTILAS PARA DETRAN-SP 2019

Matrizes e Determinantes II

1 – Definições:

1.1 – Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3×3) A a seguir :

Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício!

1.2 – Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:
cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = – 10.

2 – Teorema de Laplace

  • O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
  • Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros.
  • Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.
  • Pierre Simon Laplace – (1749-1827) – Matemático e astrônomo francês.

3 – Cálculo da inversa de uma matriz.

a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde Ié a matriz identidade de ordem n.

b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.
Símbolo: cof A .

c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:

Onde: A-1 = matriz inversa de A;
det A = determinante da matriz A;
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .

Exercícios propostos

1 – Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i – j então podemos afirmar que o seu determinante é igual a:

*a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -4

2 – UFBA-90 – Calcule o determinante da matriz:

APOSTILA E CURSO ONLINE PM-SP 2019

APOSTILAS PARA CELESC 2019

ENCCEJA ENSINO MÉDIO 2019

ENCCEJA ENSINO FUNDAMENTAL 2019

10 DICAS PARA PASSAR EM UM CONCURSO PÚBLICO

Resposta: 15

3 – Considere a matriz A = (aij)4×4 definida por aij = 1 se i ³ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos elementos da diagonal secundária.
Resposta: 12

4 – As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:

*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20

5 – Dadas as matrizes A = (aij)3×4 e B = (bij)4×1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento c12 da matriz C = A.B é:

a)12
b) 11
c) 10
d) 9
*e) inexistente

Uma matriz inversível

FUVEST – 1999 – 1ª fase – Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz 2A = A2, então o determinante de A será:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

SOLUÇÃO:

Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero.
Se 2 A = A2, então os seus determinantes são iguais, ou seja: det(2 A) = det(A2)

Sabemos que sendo det(A) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.A) onde k é um número inteiro positivo, será igual a kn . det(A). Para revisar, clique AQUI.

Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem:
det(2 A) = 22.det(A)

Sabemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja:
det(A.B) = det(A).det(B).

Então, det(A2) = det(A . A) = det(A).det(A)

Substituindo na igualdade det(2 A) = det(A2), as expressões obtidas anteriormente, vem:
22.det(A) = det(A).det(A)
4.det(A) – [det(A)]2 = 0

Colocando det(A) em evidencia, fica:
det(A).[4 – det(A)] = 0

Daí, conclui-se que det(A) = 0 OU det(A) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é não nulo e, portanto, a solução det(A) = 0 não serve. Portanto, det(A) = 4, e a alternativa correta é a de letra E.

Sistemas Lineares I

1 – Equação linear

VOLTAR PARTE 1          VOLTAR PARTE 2          CONTINUA NA PARTE 4

Dica: Para você que não esta encontrando o conteúdo que precisa ou prefere estudar por apostilas dá uma olhada no site Apostilas Opção, lá eles tem praticamente todas as apostilas atualizadas de todos os concursos abertos. Caso queira saber por que indico as Apostilas Opção clique aqui!

APOSTILA PARA BRB 2019

APOSTILAS PARA PREFEITURA GUARULHOS 2019

APOSTILAS PARA TODOS OS CARGOS PREF. SOROCABA 2019

APOSTILA PARA IFTO 2019

APOSTILAS PARA TODOS OS CARGOS CÂMARA PETROLINA 2019

APOSTILA PREPARATÓRIA PARA PM-PR

APOSTILA PREPARATÓRIA PARA INSS - TEC. SEGURO SOCIAL

CONFIRA AQUI AS MELHORES APOSTILAS DO MERCADO!!

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *