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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 5

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Sistemas Lineares III

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss – astrônomo, matemático e físico alemão – 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 – um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x – 2y = 6

5x – 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

T2 – um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y – z = 5
2x + y + z = 7
x – 2y + 3z = 1

3x + 2y – z = 5
2x + y + z = 7
3x – 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.

T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo: os sistemas
15x – 3y = 22
5x + 2y = 32

15x – 3y = 22
…… – 9y = – 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.

Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y – 2z = 3 .Equação 1
2x . – .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y – 5z = 6 .Equação 3

SOLUÇÃO:
1 – Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x .-…y + z = 12
x ..+ 3y – 2z = 3
4x + 3y – 5z = 6

2 – Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) – uso da transformação T2 – somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido – uso da transformação T3 – vem:
2x – ..y + z = 12
…..- 7y + 5z = 6
4x + 3y – 5z = 6

3 – Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:
2x – ..y + ..z = …12
…..- 7y + 5z = ….6
……..5y – 7z = – 18

4 – Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x -…..y + ….z =….12
…..- 35y +25z =… 30
…….35y – 49z = -126

5 – Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem:
2x – …..y + ….z = ..12
…..- 35y + 25z = ..30
……………- 24z = – 96

6 – Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos: – 35y + 25(4) = 30 \ y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x – 2 + 4 = 12 \ x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }

Verificação:

Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) – 2(4) = 3
2(5) – (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) – 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.

Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma
ax + by + cz = k1
dy + ez = k2
fz = k3
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema.

É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos:
a) f ¹ 0 , o sistema é possível e determinado.
b) f = 0 e k3 ¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f .
d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções.

Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportunaaplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.

Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.

A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados.
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento:

Sistema I : Resposta: S = { (3, 5) }
4x – 2y = 2
2x + 3y = 21

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Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) }
2 a + 5b + .3c = …20
5 a + 3b – 10c = – 39
…a + ..b + ….c = …..5

Sistema III : Resposta: S = { (2, 3, 5) }
..x + .y .- ..z = …0
..x – 2y + 5z = 21
4x + .y + 4z = 31

Sistemas Lineares IV

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Gabriel Cramer – matemático suíço – 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3
…………………………………………….= …
…………………………………………….= …
an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn

onde os coeficientes a11, a12, …, ann são números reais ou complexos, os termos independentes
b1, b2, … , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, … , xn são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.


Seja D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita
xi ( i = 1, 2, 3, … , n), pelos termos independentes b1, b2, … , bn.


A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:
xi = D xi / D

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y – 2z = 3
2x – y + z = 12
4x + 3y – 5z = 6

Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes.

Teremos:

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III.

Agora, resolva este:
2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y – 10z = – 39
x + y + z = 5

Resposta: S = { (-1, 2, 4) }

Esta matéria foi retirada do site de Paulo Marques

resumo-de-matrizes_determinantes_sistemas_lineares

Se além da matéria que esta postado aqui, você quiser aprofundar mais clique no link abaixo e leia a apostila preparada pela Faculdade Assis Gurgacz de Cascavél PR:

matrizes-determinantes-sistemas-lineares-e-inversa

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