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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 5

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Sistemas Lineares III

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss – astrônomo, matemático e físico alemão – 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 – um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x – 2y = 6

5x – 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

T2 – um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real não nulo.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
3x + 2y – z = 5
2x + y + z = 7
x – 2y + 3z = 1

3x + 2y – z = 5
2x + y + z = 7
3x – 6y + 9z = 3
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.

T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo: os sistemas
15x – 3y = 22
5x + 2y = 32

15x – 3y = 22
…… – 9y = – 74
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).

Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.

Seja o sistema de equações lineares:
. x + 3y – 2z = 3 .Equação 1
2x . – .y + z = 12 Equação 2
4x + 3y – 5z = 6 .Equação 3

SOLUÇÃO:
1 – Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:
2x .-…y + z = 12
x ..+ 3y – 2z = 3
4x + 3y – 5z = 6

2 – Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) – uso da transformação T2 – somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido – uso da transformação T3 – vem:
2x – ..y + z = 12
…..- 7y + 5z = 6
4x + 3y – 5z = 6

3 – Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:
2x – ..y + ..z = …12
…..- 7y + 5z = ….6
……..5y – 7z = – 18

4 – Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:
2x -…..y + ….z =….12
…..- 35y +25z =… 30
…….35y – 49z = -126

5 – Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem:
2x – …..y + ….z = ..12
…..- 35y + 25z = ..30
……………- 24z = – 96

6 – Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:
Teremos: – 35y + 25(4) = 30 \ y = 2.
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:
2x – 2 + 4 = 12 \ x = 5.
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :
S = { (5, 2, 4) }

Verificação:

Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:
5 + 3(2) – 2(4) = 3
2(5) – (2) + (4) = 12
4(5) + 3(2) – 5(4) = 6
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.

Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma
ax + by + cz = k1
dy + ez = k2
fz = k3
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema.

É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos:
a) f ¹ 0 , o sistema é possível e determinado.
b) f = 0 e k3 ¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f .
d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções.

Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser recomendar a correta e oportunaaplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.

Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.

A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados.
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento:

Sistema I : Resposta: S = { (3, 5) }
4x – 2y = 2
2x + 3y = 21

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Sistema II : Resposta: S = { (-1, 2, 4) }
2 a + 5b + .3c = …20
5 a + 3b – 10c = – 39
…a + ..b + ….c = …..5

Sistema III : Resposta: S = { (2, 3, 5) }
..x + .y .- ..z = …0
..x – 2y + 5z = 21
4x + .y + 4z = 31

Sistemas Lineares IV

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.
Gabriel Cramer – matemático suíço – 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3
…………………………………………….= …
…………………………………………….= …
an1x1 + an2x2 + an3x3 + … + annxn = bn

onde os coeficientes a11, a12, …, ann são números reais ou complexos, os termos independentes
b1, b2, … , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, … , xn são as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.


Seja D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita
xi ( i = 1, 2, 3, … , n), pelos termos independentes b1, b2, … , bn.


A regra de Cramer diz que:
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:
xi = D xi / D

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y – 2z = 3
2x – y + z = 12
4x + 3y – 5z = 6

Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes.

Teremos:

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III.

Agora, resolva este:
2 x + 5y + 3z = 20
5 x + 3y – 10z = – 39
x + y + z = 5

Resposta: S = { (-1, 2, 4) }

Esta matéria foi retirada do site de Paulo Marques

resumo-de-matrizes_determinantes_sistemas_lineares

Se além da matéria que esta postado aqui, você quiser aprofundar mais clique no link abaixo e leia a apostila preparada pela Faculdade Assis Gurgacz de Cascavél PR:

matrizes-determinantes-sistemas-lineares-e-inversa

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Dica: Para você que não esta encontrando o conteúdo que precisa ou prefere estudar por apostilas dá uma olhada no site Apostilas Opção, lá eles tem praticamente todas as apostilas atualizadas de todos os concursos abertos. Caso queira saber por que indico as Apostilas Opção clique aqui!

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