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MMC e MDC – Parte 3

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EXERCÍCIOS

(UEL) Três ciclistas percorrem um circuito saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o segundo em 36 s e o terceiro em 30 s. Com base nessas informações, depois de quanto tempo os três ciclistas se reencontrarão novamente no ponto de partida, pela primeira vez, e quantas voltas terá dado o primeiro, o segundo e o terceiro ciclistas, respectivamente?

 

(A)      5 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 13 voltas.

(B)       6 minutos, 9 voltas, 10 voltas e 12 voltas.

(C)       7 minutos, 10 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

(D)      8 minutos, 8 voltas, 9 voltas e 10 voltas.

(E)       9 minutos, 9 voltas, 11 voltas e 12 voltas.

 

Resposta

O MMC 30, 36, 40 = 360 s = 6 min é o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida. Por eliminação, já podemos marcar a letra B. Mas como encontrar o número de voltas de casa ciclista, basta dividir o tempo de 360 segundos pelo período de uma volta de cada um deles:

1º ciclista = 36040 = 9 voltas; 2º ciclista = 36036 = 10 voltas; 3º ciclista = 36030 = 12 voltas

Resposta: letra B.

Fonte: Educação e Cola da Web

Mais Algumas questões para praticar:

Questão nº 1

(Fuvest – SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”?

 

  1. a) 12
  2. b) 10
  3. c) 20
  4. d) 15
  5. e) 30

Questão nº 2

(Mackenzie – SP) Nas últimas eleições, três partidos políticos tiveram direito, por dia, a 90 s, 108 s e 144 s de tempo gratuito de propaganda na televisão, com diferentes números de aparições. O tempo de cada aparição, para todos os partidos, foi sempre o mesmo e o maior possível. A soma do número das aparições diárias dos partidos na TV foi de:

 

3) Calcule o MMC e o MDC dos números abaixo:

  1. a) 18 e 60
  2. b) 210 e 462

Respostas abaixo:

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Questão nº 1

Como o exercício nos questiona “após quantos segundos elas voltarão a ‘piscar simultaneamente’”, precisamos converter as informações dadas para medidas de “segundos”. Portanto, se a primeira torre “pisca” 15 vezes por minuto, sabendo que um minuto equivale a 60 segundos, podemos fazer 60 : 15 = 4, pois as luzes da primeira piscam de 4 em 4 segundos. Equivalentemente, os cálculos para a segunda torre são 60 : 10 = 6, o que nos indica que as luzes da segunda torre piscam de 6 em 6 segundos.

4, 6 | 2
2, 3 | 2
1, 3| 3
                 1, 1 | 3 * 2* 2 = 12

Multiplicando os números que dividem o 4 e o 6, temos 2 x 1 x 3 = 12. Portanto, MMC (4,6) = 12. Logo, as torres piscaram juntas a cada 12 segundos.

Questão nº 2

Para resolver essa questão, precisamos recorrer à ideia do Máximo Divisor Comum, pois queremos que o tempo de cada aparição seja o maior possível.

Façamos então a fatoração simultânea dos tempos de aparição de cada político:

90, 108, 144 | 2
45, 54, 72 | 2
45, 27, 36 | 2
45, 27, 18 | 2
45, 27, 9 | 3
15, 9, 3 | 3
5, 3, 1 | 3
5, 1, 1 | 5
1, 1, 1 |

Já que estamos procurando o MDC, vamos procurar aqueles números que dividiram os três números ao mesmo tempo. Fazendo a multiplicação deles, temos: 2 x 3 x 3 = 18.

Encontramos o tempo de aparição de cada político, 18 segundos. Precisamos agora descobrir quantas aparições cada um deles realizou. Vejamos:

90: 18 = 5 aparições

108/18 = 6 aparições

144 : 18 = 8 aparições

Somando as aparições de cada um, encontramos 5 + 6 + 8 = 19 aparições.

 

Questão nº 3

  1. a)Primeiramente, vamos calcular o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre 18 e 60 pela decomposição simultânea dos dois números. Sempre dividindo os números pelo menor número primo possível:
  • 18, 60 | 2
    9, 30 | 2
    9, 15 | 3
    3, 5 | 3
    1, 5 | 5
    1, 1 |

Vamos multiplicar todos os números que ficaram à direita: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180. Portanto, MMC (18, 60) = 180.

  • 18, 60 |2
    9, 30 | 2
    9, 15 | 3
    3, 5 | 3
    1, 5 | 5
    1, 1 |

Mas desses números à direita, os únicos que dividem o 18 e o 60, simultaneamente, são os números destacados: 2 e 3. Multiplicando-os, encontramos o resultado 6. Logo, o MDC (18, 60) = 6.

  1. b)Vamos calcular o MMC (210, 462) através da decomposição simultânea dos dois números:
  • 210, 462 | 2
    105, 231 | 3
    35, 77 | 5
    7, 77 | 7
    1, 11 | 11
    1, 1 |

Basta multiplicar todos os números que ficaram à direita : 2 x 3 x 5 x 7 x 11 = 2.310. Portanto, MMC (210, 462) = 2.310.

  • 210, 462 |2
    105, 231 | 3
    35, 77 | 5
    7, 77 | 7
    1, 11 | 11
    1, 1 |

Para encontrarmos o MDC, procuramos à direita os números que dividiram o 210 e o 462 simultaneamente, 2, 3 e 7. Multiplicando-os, encontramos o resultado 42. O MDC (210, 462) = 42.

Fonte: Brasil escola

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