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Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 2

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Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:

S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5

Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde

Sn Soma ou montante
P Valor Principal aplicado inicialmente
i taxa unitária
n número de períodos da aplicação

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.

Montante composto

A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número de períodos n, é dada por:

S = P (1+i)n

Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?

Objetivo: S=2P

Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:

S=P(1+i)n

Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2

Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano

Observação: Tábua de logaritmo imediata

Para obter o logaritmo do número N na base natural, basta trocar N pelo número desejado e escrever:

javascript:Math.log(N)

na caixa branca de seu browser que indica Endereço (Location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para continuar os estudos.

Uma forma alternativa é copiar a linha em azul para o Endereço, pressionando a seguir a tecla <ENTER> para obter o resultado.

Fator de Acumulação de Capital (Fator de P para S)

Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, definimos o Fator de Acumulação de Capital ou Fator de P para S, denotado por FAC(i,n) ou FPS(i,n), como:

FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1 + i)n

Agora, podemos escrever o montante composto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n):

S = P FAC(i,n) = P FPS(i,n)

Utilidade: O FAC(i,n)=(1+i)n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e a seguir tecla-se o sinal de igualdade n-1 vezes.

Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo:

S = P (1 + i)n  
P = S (1+i)-n  

Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual P de um capital futuro conhecido S.

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P=S(1+i)-n

Fator de Valor Atual

Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou Fator de Desconto, denotado por FVA(i,n) ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(i,n):

FVA(i,n) = FSP(i,n) = (1+i)-n

Utilidade: O FVA(i,n)=(1+i)-n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e o sinal = (igual) n-1 vezes para obter FAC(i,n) e a seguir teclamos o sinal de divisão e finalmente o sinal = (igual) para obter o FVA(i,n), que é o inverso do FAC(i,n).

Cálculo de juros Compostos

J = P [(1+i)n-1]

Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e a dívida foi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?

Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.

Dúvida: Qual será a fórmula para juros compostos quando a taxa é anual e o período está indicado em uma unidade diferente de 1 ano? A idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter:

n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano

Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1. A fórmula empregada é:

J = P [(1+i)n-1]

Solução:

J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21

Teste: Você saberia obter a raiz quarta de um número com uma calculadora que só extrai a raiz quadrada? E a raiz oitava de um número que só extrai a raiz quadrada?

Taxas

Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira.

Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: “No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira ‘poluição’ de taxas de juros.”

Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:

Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

  1. 1200% ao ano com capitalização mensal.
  2. 450% ao semestre com capitalização mensal.
  3. 300% ao ano com capitalização trimestral.

Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

  1. 120% ao mês com capitalização mensal.
  2. 450% ao semestre com capitalização semestral.
  3. 1300% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação:

CONTINUA NA PARTE 3                     VOLTAR PARTE 1

Para complementar seus estudos sobre cálculos financeiros:

1 Juros simples e compostos: capitalização e descontos.

2 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente.

3 Planos ou sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos.

4 Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento.

Dicas importantes:

 

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