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Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 3

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Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxa da inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:

vreal = 1 + ireal

que pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)

isto é:

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02

o que significa que a taxa real no período, foi de:

ireal = 2%

Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.

Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o valor de:

V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77

Taxas equivalentes

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.

Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que :

S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00

Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto, teremos:

S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00

Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmo trimestre.

Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao ano capitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês a mês, porque:

i = 300/12 = 25

Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre, aplicada a cada trimestre, porque:

i = 300/4 = 75

É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.

Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processos de capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.

Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano é indicado por Np.

Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias.

A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:

1 + ia = (1+ip)Np

onde

ia taxa anual
ip taxa ao período
Np número de vezes em 1 ano

Situações possíveis com taxas equivalentes

Fórmula Taxa Período Número de vezes
1+ia = (1+isem)2 isem semestre 2
1+ia = (1+iquad)3 iquad quadrimestre 3
1+ia = (1+itrim)4 itrim trimestre 4
1+ia = (1+imes)12 imes mês 12
1+ia = (1+iquinz)24 iquinz quinzena 24
1+ia = (1+isemana)24 isemana semana 52
1+ia = (1+idias)365 idias dia 365

Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês?

Vamos entender a frase: “12% ao ano capitalizada mês a mês”. Ela significa que devemos dividir 12% por 12 meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito “12% ao ano capitalizada trimestralmente” deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número de trimestres de 1 ano) que é 3%.

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Vamos observar o fluxo de caixa da situação:

Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por

1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247

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i2 = 0,1268247 = 12,68247%

Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva.

Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a ser usada é:

1+ia = (1 + imes)12

Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter:

1,12 = [1 + i(mes)]12

Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 a ambos os lados da igualdade para obter:

log(1,12) = 12 log[1+i(mes)]

log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)]

0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)]

0,004101501889182 = log[1+i(mes)]

assim

100,004101501889182 = 10log[1+i(mes)]

Desenvolvendo a potência obtemos:

1,009488792934 = 1 + i(mes)

0,009488792934 = i(mes)

i(mes) = 0,9488792934%

Se você não estiver lembrando ou tem interesse em estudar o assunto, o link Logaritmos nesta mesma Página, possui coisas interessantes sobre o assunto.

Observação: Interprete os últimos exemplos com muito cuidado!

Descontos

Notações comuns na área de descontos:

D Desconto realizado sobre o título
A Valor Atual de um título
N Valor Nominal de um título
i Taxa de desconto
n Número de períodos para o desconto

Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmo título.

D = N – A

Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).

Tipos de descontos

Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculos exponenciais.

Desconto Simples Comercial (por fora):

CONTINUA NA PARTE 4

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Para complementar seus estudos sobre cálculos financeiros:

1 Juros simples e compostos: capitalização e descontos.

2 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente.

3 Planos ou sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos.

4 Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento.

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