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Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto – Parte 4

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Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.

Desconto por fora Juros simples
D = N i n j = P i n
N = Valor Nominal P = Principal
i = taxa de desconto i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos

O valor atual no desconto por fora, é calculado por:

A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)

Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.

O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.

Desconto por dentro Juros simples
D = A i n j = P.i.n
N = Valor Atual P = Principal
i = taxa de desconto i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos

O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:

A = N / (1 + i n)

Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título.

Desconto composto por fora Juros compostos
A = N(1-i)n S = P(1+i)n
A = Valor Atual P = Principal
i = taxa de desconto negativa i = taxa de juros
n = no. de períodos n = no. de períodos

Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicações repetidas do desconto simples para 1 período.

Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:

A1 = N(1-i)

onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é:

A2 = A1(1-i) = N(1-i)2

Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n:

An = N(1-i)n

Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por:

S = P(1+i)n

Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.

Como D = N – A e como N = A(1 + i)n , então

D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazo de vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.

Solução:

D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30

Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento de R$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições de resgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa?

Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045

Número de períodos para o desconto: n=12-5=7

Fórmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n

Financiamento pelo Sistema Price

No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matemática Financeira é muito mais útil no nosso cotidiano do que outras “matemáticas”. Aqui se vê a força do estudo de sequências geométricas (PG), fato que não é possível explicitar facilmente a alunos de níveis elementares. No entanto, praticamente todos os indivíduos estão envolvidos com compras de bens de consumo no seu dia-a-dia e este ponto se torna fundamental pois transforma o estudo de Progressões Geométricas em algo extremamente útil.

O sistema Price (Richard Price), também chamado Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país que utilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos os pagamentos sao iguais.

A idéia essencial neste contexto é construir um fluxo de caixa e descobrir o Valor Atual ou Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos.

Antes de continuar, iremos mostrar uma situação para identificar o que está escondido sob os cálculos de um financiamento.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre um carro para pagar em 4 prestações mensais consecutivas e iguais de R$8.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao mês. Qual será o Valor Atual (real) deste carro?

Fluxo de caixa do problema

O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para obter o Valor Atual do bem financiado.

A1 = 8000/(1+0,1)1
A2 = 8000/(1+0,1)2
A3 = 8000/(1+0,1)3
A4 = 8000/(1+0,1)4

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Assim o Valor Atual será a soma dos valores atuais parciais

A = 8000.(1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4)

que pode ser escrito como:

A = 8000 x 3,169865435 = 25.358,92

que é o valor à vista que custa o carro.

Um fato curioso é o aparecimento da expressão:

K = 1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4

que representa a soma dos termos de uma sequência geométrica (PG) com 4 termos.

Na sequência, analisaremos a situação geral quando temos n prestações num modelo semelhante, considerando agora um financiamento cujo Valor Atual A na data inicial (tempo=0) será pago em n prestações iguais a R ao final de cada um dos n meses seguidos, a taxas mensais iguais a i.

Fluxo de caixa do problema

O problema é similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matemático, como :

A = R[(1+i)-1+(1+i)-2+…+(1+i)-n]

Evidenciando o termo (1+i)-n, segue que:

A = R[1+(1+i)1+…+(1+i)n-1] / (1 +i)n

e o termo dentro dos colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo é igual 1 e cuja razão é igual a (1+i).

A fórmula abaixo é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são realizados os cálculos de taxas de juros em financiamentos.

Esta não é uma expressão matemática simples! Quando se conhece a taxa i, o número de períodos n e o valor de cada prestação R é bastante fácil obter o Valor Atual A.

Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) A, Prestação R e Número de períodos n, não é fácil obter a taxa de juros porque além de ser matematicamente difícil, o governo, as empresas e financeiras em geral, embutemmuitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da taxa!

Esta fórmula matemática pode ser escrita como:

A = R FVAs(i,n)

onde FVAs é o Fator de Valor Atual para uma série uniforme, definido por:

Esta é a fórmula utilizada nas tabelas financeiras que encontramos no comércio em geral. Através desta fórmula podemos obter a taxa de um financiamento em prestações com pagamentos iguais.

Para o próximo exemplo, vamos admitir que o dono de uma loja te garantiu o valor certo para a taxa ao período, o que eu não acredito em geral.

Para se calcular o valor da prestação R de um bem cujo preço à vista é A e será pago em n prestações iguais sem entrada, à taxa i ao período, sendo que a primeira prestação será paga no final do primeiro período, divide-se o valor atual A pelo FVAs(i,n), isto é:

R = A / FVAs(i,n)

Exemplo: Determinar a prestação R da compra de uma geladeira que custa à vista A=$1.000,00 e que será paga em 12 meses, sem entrada, com um taxa de 5% ao mês.

Se você souber o Valor à vista A, a prestação R e o número de meses n, você poderá obter a taxa i ao mês, desde que possua uma tabela financeira ou então se tiver acesso ao link Taxa de juros em um financiamento.

Esta matéria foi retirada do site da sercomtel

Fiz duas postagens sobre juros simples e juros compostos caso queira aprofundar mais estas matérias.

Para completar seus estudos vale estudar as duas apostilas abaixo:

matematica-financeira-vestcon Desenvolvida pela Vestcon On line

apostila-matematica-financeira Desenvolvida pelo Instituto de Educação de Assis – IEDA, feito pelo Professor Edison Andrade de Souza.

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Para complementar seus estudos sobre cálculos financeiros:

1 Juros simples e compostos: capitalização e descontos.

2 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente.

3 Planos ou sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos.

4 Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento.

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