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Matrizes, determinantes e sistemas lineares

APOSTILA PARA FUNDAC- PB 2019

APOSTILA PARA MP-SP 2019

SAIBA POR QUE INDICO AS APOSTILAS OPÇÃO

Matrizes, determinantes e sistemas lineares

 

Matrizes e Determinantes I

Matriz de ordem m x n : Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela retangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e ncolunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)

Exemplos:

A = ( 1 0 2 -4 5) ® Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)

B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.

Notas:

1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.

Exemplo:

A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3×3 , dita simplesmente de ordem 3 .

2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.

Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a3,2 = 5 , etc.

3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ¹ j .

Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2×2 ou simplesmente de ordem 2 é:

A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3×3 ou simplesmente de ordem 3 é:

4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.

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Exemplo:

A matriz At é a matriz transposta da matriz A .

Notas:

4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.

4.2) Se A = – At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .

4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula) .

Produto de matrizes

Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de linhas de B.

Amxn x Bnxq = Cmxq

Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:

Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:

L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:

Observe que o produto de uma matriz de ordem 3×2 por outra 2×3, resultou na matriz produto P
de ordem 3×3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ¹ B x A

 

DETERMINANTES

Continua na parte 2

 

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