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Teoria dos conjuntos: as relações de pertinência, inclusão e igualdade
Relação de pertinência
Imagine um conjunto A cujo seus elementos são os números naturais menores que 10:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
–> O número natural 3 pertence ao conjunto A;
–> O número natural 35 não pertence ao conjunto B.
Então, a relação entre um elemento e um conjunto é denominado de relação de pertinência.
Para indicar se um elemento pertence a um conjunto, usamos o seguinte símbolo ∈ (lê-se: Pertence), e para indicar se um elemento não pertence a um conjunto, usamos o seguinte símbolo ∉ (lê-se: Não Pertence).
–> 3 ∈ A (3 pertence a A)
–> 35 ∉ A (35 não pertence a A)
Outro exemplo:
Dado o conjunto A = {-8, -4, -2, 0, 1, 2, 3}, podemos dizer que – 4 ∈ A ( – 4 pertence a A) e que 5 ∉ A ( 5 não pertence a A)
Relação de inclusão
Relação de inclusão é quando todos os elementos de um determinado conjunto pertencem ou não a um outro conjunto. Essa relação é indicada pelos seguintes símbolos:
⊂ → lê-se: está contido
⊃ → lê-se: contém
⊄ → lê-se: não está contido
⊅ → lê-se: não contém
Para entendermos melhor, darei alguns exemplos para melhor compreensão.
Exemplo 01
Considere os conjuntos abaixo:
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4, 5}
temos:
1 ∈ A e 1 ∈ B
2 ∈ A e 2 ∈ B
3 ∈ A e 3 ∈ B
Perceba que, todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, então podemos afirmar que A está contido em B, podendo ser indicado da seguinte maneira: A ⊂ B. E se A ⊂ B, podemos também dizer que B contém A, podendo ser indicado da seguinte maneira: B ⊃ A.
Exemplo 02
Agora considere os seguintes conjuntos abaixo:
A = {0, 1, 2, 3}
B = {1, 2, 3, 4}
temos:
0 ∈ A e 0 ∉ B
1 ∈ A e 1 ∈ B
2 ∈ A e 2 ∈ B
3 ∈ A e 3 ∈ B
Perceba que, nem todos os elementos do conjunto A pertence ao conjunto B. Então podemos dizer que A não está contido em B, podendo ser indicado da seguinte maneira: A ⊄ B. Logo, B não contem A, que também é indicado por B ⊅ A.
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Então:
Quando todos os elementos do conjunto A também pertencem B, dizemos que A está contido em B, ou A é subconjunto de B, ou A é parte de B. Também dizemos que B contem A.
Quando nem os elementos do conjunto A pertencem a B, dizemos que A não está contido em B. Também dizemos que B não contem A.
É importante sabermos que:
Todo subconjunto é subconjunto de si mesmo, ou seja, A ⊂ A.
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, Ø ⊂ A, qualquer que seja o conjunto A.
Exemplo 03
Dado o conjunto A = {a, e, i}, podemos obter os seguintes subconjuntos de A:
subconjunto sem elementos: Ø;
subconjunto com um elemento: {a}, {e}, {i};
subconjunto com dois elemento: {a, e}, {a, i}, {e, i};
subconjunto com três elemento: {a, e, i};
Então, os subconjuntos de A são: {a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}.
Relação de igualdade
Dizemos que dois ou mais conjuntos são iguais, quando todos possuem o mesmo elemento. Você irá entender melhor com o exemplo abaixo.
Dado dois conjuntos A e B, cujo seus elementos são:
A = {c, a, r l, o, s}
B = {a, r, c, s, l, o}
Observe que os elementos de A e B são o mesmo, então podemos afirmar que o conjunto A é igual ao conjunto B.
Então, dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
Para indicar se um conjunto é igual ou diferente do outro, utilizamos os seguintes símbolos:
= (lê-se igual)
≠ (lê-se diferente)
Exemplos:
A = {c, a, r l, o, s}
B = {a, r, c, s, l, o}
C = {1, 2, 3, 4, 5}
D = {5, 4, 3, 2, 1}
Podemos afirmar que:
A = B ==> (lê-se: A igual B)
C = D ==> (lê-se: C igual D)
A ≠ C ==> (lê-se: A diferente de C)
B ≠ D ==> (lê-se: B diferente de D)
Fonte: Matemática na web
Representação por diagramas: Diagramas de Venn (Diagramas Lógicos)
Teoria dos conjuntos
Números inteiros
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