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Tag: conjuntos

Linguagem dos conjuntos: Representações de um conjunto, pertinência, inclusão, igualdade, união, interseção e complementação de conjuntos

Linguagem dos conjuntos

As noções de conjunto e elemento, em matemática, são noções primitivas, isto é, não são definidas. A ideia de conjunto é a mesma de coleção.

Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos do mesmo são representados entre chaves. Assim, teríamos:

O conjunto das letras do nosso alfabeto; L= {a, b, c, d,…, z}.

O conjunto dos dias da semana: S= {segunda, terça,… domingo}.

Números irracionais


No final da postagem tem uma videoaula para complementar o assunto.

Recomendo os seguintes links:

Como estudar para concursos públicos.

Conheça as características das principais bancas organizadoras de concursos públicos

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Gostaria também de saber qual concurso você vai fazer, é só postar nos comentários

Abraços e bons estudos!


Os Números Irracionais (I) fazem parte do conjunto dos Números Reais (R) junto com os Números Racionais (Q),

Números reais

Números Reais

O conjunto dos números reais surge para designar a união do conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. É importante lembrar que o conjunto dos números racionais é formado pelos seguintes conjuntos: Números Naturais e Números Inteiros. Vamos exemplificar os conjuntos que unidos formam os números reais. Veja:

Números Naturais (N): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, ….
Números Inteiros (Z): …, –8, –7, –6, –5, –4, –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …..
Números Racionais (Q): 1/2, 3/4, 0,25, –5/4,
Números Irracionais (I): √2, √3, –√5, 1,32365498…., 3,141592….

Podemos concluir que o conjunto dos números reais é a união dos seguintes conjuntos:

N U Z U Q U IR ou Q U IR

Os números reais podem ser representados por qualquer número pertencente aos conjuntos da união acima. Essas designações de conjuntos numéricos existem no intuito de criar condições de resolução de equações e funções, as soluções devem ser dadas obedecendo aos padrões matemáticos e de acordo com a condição de existência da incógnita na expressão.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Coloquei mais um pouco da matéria para você que quer aprofundar mais no assunto:

O conjunto dos números reais é formado pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Existem várias propriedades a respeito dos números reais, que são extensões das propriedades dos números racionais. Essas propriedades estão relacionadas com a ordem dos números reais e com o estudo das operações matemáticas básicas aplicadas aos elementos desse conjunto.

A definição dos números reais depende das definições dos conjuntos dos números racionais e irracionais, que, por sua vez, dependem da definição dos números inteiros. Dessa maneira, todos os números geralmente estudados até o final do Ensino Fundamental e início do Ensino Médio são os números reais.

De posse da definição de números reais, discutiremos as propriedades mais importantes relacionadas com esse conjunto numérico.

Propriedades do conjunto dos números reais

As propriedades a seguir são decorrentes da definição dos números reais e também da inclusão das operações “adição” e “multiplicação” entre os elementos desse conjunto.

O conjunto dos números reais é um conjunto completo

Existe uma relação feita entre o conjunto dos números reais e a reta numérica, que é construída da seguinte maneira: para cada número real, existe um e apenas um ponto representando-o na reta numérica. É possível mostrar que a reta não contém nenhum “furo”, isto é, ponto que não represente número real algum. Portanto, o conjunto dos números reais é completo.

O conjunto dos números reais é um conjunto ordenado

Ainda avaliando a reta numérica, comparando dois números reais quaisquer, aquele que estiver mais à esquerda é menor do que aquele que estiver mais à direita. Além disso, se estiverem no mesmo ponto, serão iguais. Essa é a ordenação do conjunto dos números reais representada na reta numérica.

Propriedades operatórias dos números reais

Dados os números reais “a”, “b” e “c”, as seguintes propriedades operatórias são válidas:

1 – Associatividade:

a·(b·c) = (a·b)·c

a + (b + c) = (a + b) + c

2 – Comutatividade:

a·b = b·a

a + b = b + a

3 – Existência de elemento neutro único para a soma e para a multiplicação:

a + 0 = a

a·1 = a

4 – Existência de elemento inverso único para a soma e para a multiplicação:

a + (– a) = 0

1 = 1
a

5 – Distributividade:

a · (b + c) = a·b + a·c
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática

Números inteiros

Números inteiros

Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Os astrônomos e físicos estavam procurando uma linguagem matemática capaz de expressar o movimento de atração entre dois corpos. Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário.

Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

Sobre a origem dos sinais

A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.

Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.

Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais{1, 2, 3…}, o conjunto dos opostos dos números naturais{ -1, -2, …} e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z:

Conjunto dos números inteiros exceto o número zero:

Z* = {…, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,…}

Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,…}

Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {…, -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).

Exemplos:

3 é sucessor de 2;

-5 é antecessor de -4

0 é antecessor de 1

-1 é sucessor de -2

Simetria no conjunto Z

Todo número inteiro z exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.

Exemplos:

O oposto de ganhar é perder;

O oposto de perder é ganhar;

O oposto de 3 é -3

O oposto de 5 é -5

Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

|x| = max{-x,x}

Exemplos:

|0| = 0

|8| = 8

|-6| = 6

Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

A soma (adição) de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7

(+3) + (+4) = (+7)

perder 3 + perder 4 = perder 7

(-3) + (-4) = (-7)

ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3

(+8) + (-5) = (+3)

perder 8 + ganhar 5 = perder 3

(-8) + (+5) = (-3)

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:

-3 + 3 = 0

6 + 3 = 9

5 – 1 = 4

Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a + b = b + a

3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z

7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 0

9 + (-9) = 0

A Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:

1 + 1 + 1 + … + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, teremos:

2 + 2 + 2 + … + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, teremos:

(-2) + (-2) + … + (-2) = 30 x (-2) = -60

Observamos então que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) x (+1) = (+1)

(+1) x (-1) = (-1)

(-1) x (+1) = (-1)

(-1) x (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que:

Sinais iguais produto de inteiros é positivo.

Sinais diferentes produto de inteiros é negativo.

Propriedades da multiplicação de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c

2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a x b = b x a

3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z

7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo z em Z, z diferente de zero, existe z-1=1/z em Z, tal que

z x z-1 = z x (1/z) = 1

9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1

Propriedade mista (distributiva)

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )

3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

Potenciação de números inteiros

Definição: A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a x a x a x a x … x a

n vezes

Exemplos:

23 = 2 x 2 x 2 = 8

(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = (-8)

(-5)2 = (-5) x (-5) = 25

(+5)2 = (+5) x (+5) = 25

com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.

Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a2 pode ser lida como: “a elevado ao quadrado” e quando o expoente é n=3, a potência a3 pode ser lida como: “a elevado ao cubo”. Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a2 onde a é o lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a3 onde a é o lado do cubo.

Radiciação de números inteiros

Definição: A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.

Observação: Por deficiência da própria linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei aqui Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].

Dessa forma, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

b = Rn[a] <=> a = bn

Definição: A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número a.

Observação importante: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.

Erro muito comum: Freqüentemente lemos em alguns materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

Definição: A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos:

R3[8] = 2, pois 23 = 8.

R3[-8] = -2, pois (-2)3 = -8.

R3[27] = 3, pois 33 = 27.

R3[-27] = -3, pois (-3)3 = -27.

Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números inteiros, concluímos que:

Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

Este texto foi retirado do site Cola na Web

Representação por diagramas: Diagramas de Venn (Diagramas Lógicos)

Representação por diagramas: Diagramas de Venn (Diagramas Lógicos)

Os diagramas são utilizados como uma representação gráfica de proposições relacionadas a uma questão de raciocínio lógico. Esse tema é muito cobrado em provas que tenha por matéria raciocínio lógico para concursos, em questões que envolvem o termo “todo”, “algum” e “nenhum”.

Conjunto: Um conjunto constitui-se em um número de objetos ou números com características semelhantes. Podem ser classificados assim:

Conjunto finito: possui uma quantidade determinada de elementos;

Conjunto infinito: como o próprio nome diz nesse caso temos um número infinito de elementos;

Conjunto unitário: apenas um elemento;

Conjunto Vazio: sem elemento no conjunto;

Conjunto Universo: esse caso tem todos os elementos de uma situação.

Esses elementos podem ser demonstrados da seguinte forma:

Extensão: Os elementos são separados por chaves; {1,2,3,4…}

Compreensão: Escreve-se a caraterística em questão do conjunto mencionado.

Diagrama de Venn: Os elementos são inseridos em uma figura fechada e aparecem apenas uma vez.

Todo A é B: Nesse caso o conjunto A é um subconjunto do B, sendo que A está contido em B.

diagrama todo raciocínio

Nenhum A é B: Nesse caso os dois conjuntos não tem elementos comuns.

diagrama nenhum raciocínio

Algum A é B: Esse diagrama representa a situação em que pelo menos um elemento de A é comum ao elemento de B.

diagrama algum raciocínio

Inclusão

Todo, toda, todos, todas.

Interseção

Algum, alguns, alguma, algumas.

Ex: Todos brasileiros são bons motoristas

Negação lógica: Algum brasileiro não é bom motorista.

Disjunção

Nenhum A é B.

Ex: Algum brasileiro não é bom motorista.

Negação lógica: Nenhum brasileiro é bom motorista.

Exercícios de Diagramas Lógicos

Questão 1: VUNESP/2011 – Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)

Pergunta: Neste grupo de pessoas, usar só chapéu ou só relógio, nem pensar. Tampouco usar óculos, chapéu e relógio ao mesmo tempo. Quinze pessoas usam óculos e chapéu ao mesmo tempo. Usam chapéu e relógio, simultaneamente, o mesmo número de pessoas que usam apenas os óculos. Uma pessoa usa óculos e relógio ao mesmo tempo. Esse grupo é formado por 40 pessoas e essas informações são suficientes para afirmar que nesse grupo o número de pessoas que usam óculos é

a) 20

b) 22

c) 24

d) 26

e) 28

Questão 2: VUNESP/2011 – Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)

Pergunta: Observe o seguinte diagrama. De acordo com o diagrama,pode-se afirmar que

exercício Vunesp

a) todos os músicos são felizes.

b) não há cantores que são músicos e felizes.

c) os cantores que não são músicos são felizes.

d) os felizes que não são músicos não são cantores.

e) qualquer músico feliz é cantor.

Questão 3: VUNESP/2011- Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)

Pergunta: Todo PLATZ que não é PLUTZ é também PLETZ. Alguns PLATZ que são PLETZ também são PLITZ. A partir dessas afirmações, pode-se concluir que

a) alguns PLITZ são PLETZ e PLATZ.

b) existe PLATZ que não é PLUTZ nem é PLETZ

c) não existe PLUTZ que é apenas PLUTZ.

d) todo PLITZ é PLETZ.

e) existe PLITZ que é apenas PLITZ.

Questão 4: ESAF/2012 – Concurso CGU – Analista de Finanças e Controle (Prova 1)

Pergunta: Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é

a) 21

b) 14

c) 16

d) 19

e) 12

Questão 5: FCC/2012 – Concurso TCE-SP – Analista de Fiscalização Financeira (Administração)

Pergunta: Todos os jogadores são rápidos. Jorge é rápido. Jorge é estudante. Nenhum jogador é estudante. Supondo as frases verdadeiras pode-se afirmar que

a) a intersecção entre o conjunto dos jogadores e o conjunto dos rápidos é vazia.

b) a intersecção entre o conjunto dos estudantes e o conjunto dos jogadores não é vazia.

c) Jorge pertence ao conjunto dos jogadores e dos rápidos.

d) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos estudantes e o conjunto dos rápidos.

e) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos jogadores e o conjunto dos rápidos.

Questão 6: CESPE/2011 – Concurso PC-ES – Cargos de Nível Superior

Pergunta: Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. A partir dessas informações, julgue o item seguinte. Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunicação online nem das penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto concluir que 135 pessoas não tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questões.

Certo

Errado

Resposta dos Exercícios

Questão 1

São 40 acessórios, mas há apenas informações de 16 deles. Sobram 24. Como o número de pessoas que usa apenas óculos é o mesmo que usa chapéu e relógio, 12 pessoas utilizam chapéu e óculos e a outra metade apenas óculos.

Resumindo:

  • Óculos e Chapéu= 15
  • Chapéu e Relógio=12
  • Só óculos=12
  • Óculos e Relógio=1

Total= 40

-Quantos usam óculos: 15+12+1=28

Questão 2

-Como pode ser visto no diagrama, parte dos felizes não são músicos nem cantores.

Questão 3

Proposições:

  • Todo Platz que não é Plutz é também Pletz. Ou seja, Platz e Pletz são duas coisas ao mesmo tempo.
  • Alguns Platz também são Plitz. Ou seja, o Plitz pode ser Platz, mas isso não é uma regra geral.
  • A letra E é falsa porque não existe delimitação para o conjunto Plitz e ele não fica sozinho;
  • A letra B também está errada porque afima que existe Platz que não é Plutz nem é Pletz. Mas a afirmação do enunciado garante que “Todo Platz que não é Plutz é também Pletz.”
  • A letra C está incorreta porque essa afirmação não é dita em nenhum momento do enunciado.
  • A letra D está incorreta porque não há uma regra em relação a isso também.

Questão 4

Dados do enunciado:

  • O grupo tem 120 empresas;
  • Como ele disse que 19 empresas não se encaixam nesses grupos, pode-se concluir que pelo menos 101 empresas se encaixam em algum desses itens;

diagrama de exercícios

  • São 20 exportadoras dentre as empresas do nordeste: 20-x;
  • 19 empresas são familiares: 19-x;
  • Das empresas familiares 21 são exportadoras: 21-x;

diagrama exercício 4

Sabendo-se que o Norrdeste tem 57 elementos, o azul 48 e o verde 44 pode-se criar um diagrama como no exemplo abaixo:

elementos do diagrama

(18+x+19-x+x+20-x) +8+x+21-x+3+x=101

57+8+x+21-x+3+x=101

x+89=101 x=12

Questão 5

Ao analisar as informações dadas pode-se concluir que Jorge não pertence ao grupo de jogadores e sim ao conjunto compreendido entre os rápidos e estudantes.

Questão 6

resposta exercício 6

  • Pessoas que não sabiam do sistema e nem das penalidades=10
  • Retire essas 10 pessoas do número fornecido pelo enunciado para aquelas que não sabiam do sistema=60
  • O resultado é 135, pois ao somarmos 60+85-10=135.
Gabarito das Questões Resposta Certa
Questão 1 Letra E
Questão 2 Letra D
Questão 3 Letra A
Questão 4 Letra E
Questão 5 Letra E
Questão 6 Certa

Fonte: OK Concursos

Para complementar  o assunto de Princípios de raciocínio lógico recomendo os links abaixo:

Princípios do raciocínio lógico: conectivos lógicos; diagramas lógicos; lógica de argumentação; interpretação de informações de natureza matemática; probabilidade.

 

Produto cartesiano


Ao final da postagem tem uma videoaula.

Recomendo os seguintes links:

Como estudar para concursos públicos.

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Abraços e bons estudos!


O produto cartesiano de dois conjuntos A e B são todos os pares ordenados (x, y), sendo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.

Teoria dos conjuntos

Conceitos de conjuntos

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .


Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja AB. Observações:

  • Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja ;
  • O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja 


União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A ou B, ou seja: 


Intersecção de Conjuntos:dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneam