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Categoria: Matemática

Princípios de contagem

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Princípios de contagem

O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de “CPU”. Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções:

3 x 4 x 2 x 3 = 72

Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.

Um problema que ocorre é quando aparece a palavra “ou”, como na questão:

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Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 8

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 DIVISÃO

Você sabe que a divisão é a operação inversa da multiplicação

Observe:

a) (+12) : (+4) = (+3) , porque (+3) . (+4) = +12
b) (-12) : (-4) = (+3) , porque (+3) . (-4) = -12
c) (+12) : (-4) = (-3) , porque (-3) . (-4) = +12
d) (-12) : (+4) = (-3), porque (-3) . (+4) = -12

REGRA PRÁTICA DOS SINAIS NA DIVISÃO

As regras de sinais na divisão é igual a da multiplicação:

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Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 7

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MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS

MULTIPLICAÇÃO

1) multiplicação de dois números de sinais iguais

observe o exemplo

a) (+5) . (+2) = +10
b) (+3) . (+7) = +21
c) (-5) . (-2) = +10
d) (-3) . (-7) = +21

conclusão: Se os fatores tiverem sinais iguais o produto é positivo

2) Multiplicação de dois produtos de sinais diferentes

observe os exemplos

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Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais)

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Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais)

Esta matéria poderá ser pedida também na seguinte forma: Conjuntos numéricos – operações e propriedades

Atenção: no edital do Enem não consta os números irracionais.

 

Definição de Conjuntos Numéricos

Ao agrupamento de elementos com características semelhantes damos o nome de conjunto. Quando estes elementos são números, tais conjuntos são denominados conjuntos numéricos.

Neste tópico estudaremos os cinco conjuntos numéricos fundamentais, que são os conjuntos numéricos mais amplamente utilizados.

 

Conjunto dos Números Naturais

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Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 6

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ELIMINAÇÃO DOS PARENTESES

1) parenteses precedidos pelo sinal +

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal + que os precede, devemos conservar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

a) + (-4 + 5) = -4 + 5

b) +(3 +2 -7) = 3 +2 -7

2) Parênteses precedidos pelo sinal –

Ao eliminarmos os parênteses e o sinal de – que os precede, devemos trocar os sinais dos números contidos nesses parênteses.

exemplo

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Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 5

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SUBTRAÇÃO

A operação de subtração é uma operação inversa à da adição

Exemplos

a) (+8) – (+4) = (+8) + (-4) = = +4
b) (-6) – (+9) = (-6) + (-9) = -15
c) (+5) – (-2) = ( +5) + (+2) = +7

Conclusão: Para subtrairmos dois números relativos, basta que adicionemos ao primeiro o oposto do segundo.

Observação: A subtração no conjunto Z tem apenas a propriedade do fechamento ( a subtração é sempre possível)

ELIMINAÇÃO DE PARÊNTESES PRECEDIDOS DE SINAL NEGATIVO

Para facilitar o cálculo, eliminamos os parênteses usando o significado do oposto

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Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 4

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PROPRIEDADE DA ADIÇÃO

1) Fechamento : a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro

exemplo (-4) + (+7) =( +3)

2) Comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma.

exemplo: (+5) + (-3) = (-3) + (+5)

3) Elemento neutro: o número zero é o elemento neutro da adição.

exemplo: (+8) + 0 = 0 + (+8) = +8

4) Associativa: na adição de três números inteiros, podemos associar os dois primeiros ou os dois últimos, sem que isso altere o resultado.

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Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 3

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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS

ADIÇÃO

1) Adição de números positivos

A soma de dois números positivos é um número positivo.

EXEMPLO

a) (+2) + (+5) = +7
b) (+1) + (+4) = +5
c) (+6) + (+3) = +9

Simplificando a maneira de escrever

a) +2 +5 = +7
b) +1 + 4 = +5
c) +6 + 3 = +9

Observe que escrevemos a soma dos números inteiros sem colocar o sinal + da adição e eliminamos os parêteses das parcelas.

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Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades – Parte 2

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NÚMEROS OPOSTOS E SIMÉTRICOS

Na reta numerada, os números opostos estão a uma mesma distancia do zero.

-I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I___I_
-6.. -5…-4. -3,. -2,..-1,.. 0,.+1,.+2,.+3,.+4,..+5,.+6

Observe que cada número inteiro, positivo ou negativo, tem um correspondente com sinais deferentes

exemplo

a) O oposto de +1 é -1.
b) O oposto de -3 é +3.
c) O oposto de +9 é -9.
d) O oposto de -5 é +5.

Observação: O oposto de zero é o próprio zero.

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Sistema de amortização misto (SAM)

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Sistema de amortização misto (SAM)

Introdução à amortização

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que

Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!

Os principais sistemas de amortização são:

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Probabilidade básica

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PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO

Em um jogo, dois dados são lançados simultaneamente, somando-se, em seguida, os pontos obtidos na face superior de cada um deles. Ganha quem acertar a soma desses pontos. Antes de apostar, vamos analisar todos os possíveis resultados que podem ocorrer em cada soma. Indicando os números da face superior dos dados pelo par ordenado (a, b), onde a é o número do primeiro dado e b o número do segundo, temos as seguintes situações possíveis:

a + b = 2, no caso (1, 1);

a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1)

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Porcentagem

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É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

  • A gasolina teve um aumento de 15%
    Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
  • O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
    Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
  • Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
    Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.

Razão centesimal

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Regras de Três Simples e Compostas

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Regra de três simples: 

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples: 

1º Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência 2º Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área  de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

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Divisão proporcional

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Divisão proporcional

Divisão em duas partes diretamente proporcionais

Para decompor um número M em duas partes A e B diretamente proporcionais a p e q, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja A+B=M, mas

A

p

 = B

q

A solução segue das propriedades das proporções:

A

p

 = B

q

 = A+B

p+q

 = M

p+q

 = K

O valor de K é que proporciona a solução pois:

A = K p  e  B = K q

Exemplo: Para decompor o número 100 em duas partes A e B diretamente proporcionais a 2 e 3, montaremos o sistema de modo que A+B=100, cuja solução segue de:

A

2

 = B

3

 = A+B

5

 = 100

5

 = 20

Segue que A=40 e B=60.

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