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Categoria: Matemática

Média aritmética simples e ponderada

Média aritmética simples e ponderada

 

O que é média aritmética?

Existem vários tipos de média como, por exemplo, média aritmética, média geométrica e média harmônica. Aqui falaremos de média aritmética, que é a mais comum.

A média aritmética é um cálculo que pode ser utilizado para diferentes finalidades.

Ela nos indica um valor que representa um conjunto de dados.

Ela resulta da divisão entre a soma dos números de uma lista e a quantidade de números somados.

Sistema monetário brasileiro

Sistema monetário brasileiro

No Brasil, a moeda vigente é o Real (R$) e o banco responsável pela administração e produção de cédulas e notas é o Banco Central. Ele emite moeda-papel e moeda metálica, nas condições e limites autorizados pelo Conselho Monetário Nacional (CMN);

Caso preferir, no vídeo abaixo tem esta postagem em áudio e vídeo

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QUESTÕES DE CONCURSOS PARA PRATICAR

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS 2020

 

Equações irracionais

O que você vai encontrar nesta postagem:
  • Definição de equações irracionais
  • resolução de equação
  • Uma videoaula bem interessante

 

Equações irracionais

 

Definição:

Todas as equações que tem pelo menos uma incógnita ou variável no radicando são consideradas como equações irracionais.

Exemplos:

Nos dois exemplos a incógnita x esta dentro da raiz (radicando).

Equações biquadradas

Equação biquadrada na incógnita x, é toda equação de grau 4, redutível à forma ax4 + bx2 + c = 0, que pode ser convertida em uma equação de 2º grau.

2x4 – 7x2 – 4 = 0

Sabe-se que x4 = (x2)2. Portanto, poderás substituir x2 por y, e ao substituir x2 por y, terá uma equação de 2º grau na incógnita y

2x4 – 7x2 – 4 = 0

2y2 – 7y – 4 = 0 → fazendo x2 = y

Resolvendo como uma equação de 2º grau, utilizaremos o teorema de Bhaskara

a = 2, b = – 7 e c = – 4 → valores dos coeficientes

Operações com números naturais e fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão

Operações com números naturais e fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão

Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos, incluindo o zero. Esse conjunto é representado pela letra N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … }

Produtos notáveis

Produtos notáveis

Quando algumas expressões algébricas possuem características comuns ao serem resolvidas, são chamadas de produtos notáveis, pois respeitam uma lógica matemática. Esses produtos podem ser resolvidos através da multiplicação distributiva ou por uma fórmula.

Através da fórmula, reduzimos os cálculos e o tempo de resolução do exercício, propiciando uma maior rapidez na resolução das questões (uma praticidade bastante almejada).

Para alguns, a memorização de fórmulas é um problema, por isso, sempre que a memória falhar, não se preocupe, aplique a multiplicação distributiva que você obterá o mesmo resultado, afinal de contas, essas fórmulas foram determinadas através da realização dessa técnica.

Observe nos produtos notáveis abaixo:

Volumes

Volume

 

Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, entre outros exemplos.

Equações

Equações

Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos).

São exemplos de equações as seguintes igualdades:

x+8=15

x³-9x²-7=4

3sen(x)+25cos(x)=18

3x4-x3+5x²-34x+1211=0

Nesses exemplos, as letras  x e y são as incógnitas de suas equações. A incógnita de uma equação é o número desconhecido que se quer descobrir.

A equação x+8=15 pode ser interpretada como uma pergunta: “qual o número que somado com 8 dá 15?”. Não é necessário nenhum método ou fórmula para encontrar o valor de x nesse caso: basta pensar um pouco para se chegar ao resultado x=7.

Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem a igualdade verdadeira. As equações mostradas nos exemplos acima podem ser interpretadas e resolvidas facilmente: o número que subtraído de 10 é igual a 4 é m=6; o número que, ao ser multiplicado por 3, resulta em 18 é y=6.

Uma solução da equação pode ser compreendida como a raiz de uma função.

Algumas equações matemáticas descrevem, na verdade, identidades matemáticas, isto é, afirmações que são verdadeiras para todos os valores de x, como nos exemplos:

x(x+5)=x²+5x

sen²x+cos²x=1

Entretanto, uma equação pode ter apenas alguns valores para os quais ela se torna verdadeira. Nesse caso, ela deve ser resolvida para se encontrar os valores possíveis para as incógnitas. Por exemplo, considere a equação:

X²-3x=0.

Ela é satisfeita para exatamente dois valores de  x, a saber,  x=0} x=0 e  x=3.

Em geral, os matemáticos reservam a palavra equação exclusivamente para igualdades que não são identidades. A distinção entre esses dois conceitos pode ser bastante sutil. Por exemplo:

(x+1)²=x²+2x+1

é uma identidade, mas:

(x+1)²=2x²+x+1

é uma equação cujas soluções são x = 0 e  x=1.

Em geral, é possível perceber se se trata de uma identidade ou de uma equação pelo contexto em que a igualdade se encontra. Em alguns casos, na identidade, o sinal de igualdade (=) é trocado pelo sinal (≡).

Fonte: Wikipédia

Veja também: Equações do 1º grau    e     Equações do 2º grau

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Matemática para concursos 2021

Resolvi organizar melhor as postagens do site para facilitar ainda mais para você.

Coloquei então todas as matérias como são pedidas nos concursos, Enem e IFES. E em ordem alfabética.

Caso você queira sugerir algo que facilite ainda mais pode sugerir

 

Matemática para concursos 2021

Álgebra

Área e perímetros de figuras planas

Área, volume e forma.

Arranjos e permutações

Cálculo de áreas e ou de volumes.

Combinações

Conceito de Função: Função Polinomial, Exponencial e Logarítmica.

Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros, racionais e reais)

Conjuntos numéricos – operações e propriedades

Conversão de medidas

Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto

Desigualdades

Divisão proporcional

Divisibilidade

Equações

Equações do 1º Grau

Equações do 2º grau

Equações irracionais

Expressões algébricas ou literais

Expressões numéricas

Fatores primos

Frações e operações com frações.

Funções do 1º e 2º graus

Funções do 1º e 2º graus – Problemas

Funções polinomiais do 1º e 2º graus.

Geometria básica

grandezas diretamente proporcionais, grandezas inversamente proporcionais

Grandezas e medidas – quantidade, tempo, comprimento, superfície, capacidade e massa;

Inequações de 1º Grau

Inequações do 2º grau

Juros Compostos

Juros Simples

Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto

Leitura de gráficos de barras ou colunas e tabelas simples.

Linguagem dos conjuntos; Representações de um conjunto, pertinência, inclusão, igualdade, união, interseção e complementação de conjuntos.

Lógica proposicional

Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Média aritmética simples e ponderada

Medidas de comprimento, área, volume, massa e tempo

Medidas de tempo, massa e temperatura

Medidas de tempo, massa e temperatura; perímetro, área; transformações de unidades de medida, sistema monetário.

Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.

MMC e MDC

Múltiplos e divisores de um número inteiro

Múltiplos e divisores de números naturais

Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, teorema de Pitágoras.

Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, ângulo, teorema de Pitágoras.

Noções de geometria plana – forma, área, perímetro e Teorema de Pitágoras

Números e grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Números e grandezas proporcionais: razões e proporções

Números inteiros

Números irracionais

Números Naturais

Números racionais: operações e propriedades

Números racionais, representação fracionária e decimal: operações e propriedades.

Números reais

Números reais: Operações e problemas

Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades.

Operações com números naturais e fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão.

operações com conjuntos.

Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais)

Operações, propriedades e aplicações (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação).

Perímetro, área e volume

Porcentagem

Princípios de contagem

Probabilidade básica

Problemas do campo aditivo (adição e subtração) e multiplicativo (multiplicação e divisão)

Problemas e inequações do 2º grau

Produto cartesiano

Produtos notáveis

Progressão aritmética

Progressão geométrica

Razões e proporções

Regras de Três Simples e Compostas

Relação entre grandezas: tabelas, gráficos e fórmulas

Representação por diagramas: Diagramas de Venn (Diagramas Lógicos)

Resolução de situações-problema, envolvendo: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação ou radiciação com números racionais, nas suas representações fracionária ou decimal;

Sequências (com números, com figuras, de palavras)

Sequências numéricas

Sistema de amortização misto (SAM)

Sistema de equação do 1º grau

Sistema de equação do 2º Grau

Sistema de medidas: decimais e não decimais

Sistemas de medida de tempo.

Sistemas de medidas usuais

Sistemas Lineares

Sistema métrico decimal

Sistemas métricos: decimal e não decimal.

Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade.

Sistema monetário brasileiro: problemas

Sistema monetário brasileiro. Resolução de situações problema.

Sistemas de equações do 1º e 2º grau

Sistema de numeração decimal

Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente

Teoria dos conjuntos

Teoria dos conjuntos: as relações de pertinência, inclusão e igualdade

Tratamento da informação – média aritmética simples

Trigonometria

Volumes

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Sequências (com números, com figuras, de palavras)

Sequências (com números, com figuras, de palavras)

O raciocínio pode ser considerado um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.

Trazendo inúmeras possibilidades e várias abordagens, vamos nos deter hoje a um tema específico que é o Raciocínio Sequencial ou Lógica Sequencial ou até mesmo Sequências lógicas.

Álgebra

Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Isso significa que os conceitos e operações provenientes da aritmética (adição, subtração, multiplicação, divisão etc.) serão testados e sua eficácia será comprovada para todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos.

Nos estudos de álgebra, letras são utilizadas para representar números. Essas letras tanto podem representar números desconhecidos quanto um número qualquer pertencente a um conjunto numérico. Se x é um número par, por exemplo, então x pode ser 2, 4, 6, 8, 10,…. Dessa maneira, x é um número qualquer pertencente ao conjunto dos números pares e fica evidente o tipo de número que x é: um múltiplo de 2.

Propriedades das operações matemáticas:

1 – Associatividade

(x + y) + z = x + (y + z)

(x·y)·z = x·(y·z)

2 – Comutatividade

x + y = y + x

x·y = y·x

3 – Existência de elemento neutro (1 para a multiplicação e 0 para a adição)

x + 0 = x

x·1 = x

4 – Existência de elemento inverso

x + (– x) = 0

x· 1 = 1

5 – Distributividade (também chamada de propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição)

x·(y + z) = x·y + x·z

Essas cinco propriedades são válidas para todos os números reais x, y e z, uma vez que essas letras foram usadas para representar qualquer número real. Elas também são válidas para as operações adição e multiplicação.

Expressões algébricas

Na Matemática, expressão é a uma sequência de operações matemáticas realizadas com alguns números. Por exemplo: 2 + 3 – 7 é uma expressão numérica. Quando essa expressão envolve números desconhecidos (incógnitas), ela é chamada de expressão algébrica. Uma expressão algébrica que possui apenas um termo é chamada de monômio. Qualquer expressão algébrica que seja resultado de soma ou subtração entre dois monômios é chamada de polinômio.

Expressões algébricas, monômios e polinômios são exemplos de elementos pertencentes à álgebra, pois são constituídos a partir de operações realizadas com números desconhecidos. Lembre-se de que um número desconhecido pode representar qualquer número de um conjunto numérico.

Equações

Equações são expressões algébricas que possuem uma igualdade. Dessa forma, equação é um conteúdo da Matemática que relaciona números a incógnitas por intermédio de uma igualdade.

A presença da incógnita é o que classifica a equação como expressão algébrica. A presença da igualdade permite encontrar a solução de uma equação, isto é, o valor numérico da incógnita.

Exemplos

1) 2x + 4 = 0

2) 4x – 4 = 19 – 8x

3) 2×2 + 8x – 9 = 0

Funções

A definição formal de função é a seguinte: função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de um segundo conjunto.

Essa regra é matematicamente representada por uma expressão algébrica que possui uma igualdade, mas que relaciona incógnita a incógnita. Esta é a diferença entre função e equação: a equação relaciona uma incógnita a um número fixo; na função, a incógnita representa todo um conjunto numérico. Por esse motivo, dentro de funções, as incógnitas são chamadas de variáveis, já que elas podem assumir qualquer valor dentro do conjunto que representam.

Como envolve expressões algébricas, função é também um conteúdo pertencente à Álgebra, uma vez que as letras representam qualquer número pertencente a um conjunto de números qualquer.

Exemplo:

Considere a função y = x2, em que x é qualquer número real.

Nessa função, a variável x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais. Como a regra que liga os números representados por x aos números representados por y é uma operação matemática básica, então, y também representa números reais. O único detalhe a respeito disso é que y não pode representar um número real negativo nessa função, uma vez que y é resultado de uma potência de expoente 2, que sempre terá resultado positivo.

Fonte: Brasil escola, por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática

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diagramas lógicos

aritmética

geometria básica