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Categoria: Matemática

Produtos notáveis

Produtos notáveis

Quando algumas expressões algébricas possuem características comuns ao serem resolvidas, são chamadas de produtos notáveis, pois respeitam uma lógica matemática. Esses produtos podem ser resolvidos através da multiplicação distributiva ou por uma fórmula.

Através da fórmula, reduzimos os cálculos e o tempo de resolução do exercício, propiciando uma maior rapidez na resolução das questões (uma praticidade bastante almejada).

Para alguns, a memorização de fórmulas é um problema, por isso, sempre que a memória falhar, não se preocupe, aplique a multiplicação distributiva que você obterá o mesmo resultado, afinal de contas, essas fórmulas foram determinadas através da realização dessa técnica.

Observe nos produtos notáveis abaixo:

Volumes

Volume

 

Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, entre outros exemplos.

Equações

Equações

Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma ou mais incógnitas (valores desconhecidos).

São exemplos de equações as seguintes igualdades:

x+8=15

x³-9x²-7=4

3sen(x)+25cos(x)=18

3x4-x3+5x²-34x+1211=0

Nesses exemplos, as letras  x e y são as incógnitas de suas equações. A incógnita de uma equação é o número desconhecido que se quer descobrir.

A equação x+8=15 pode ser interpretada como uma pergunta: “qual o número que somado com 8 dá 15?”. Não é necessário nenhum método ou fórmula para encontrar o valor de x nesse caso: basta pensar um pouco para se chegar ao resultado x=7.

Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem a igualdade verdadeira. As equações mostradas nos exemplos acima podem ser interpretadas e resolvidas facilmente: o número que subtraído de 10 é igual a 4 é m=6; o número que, ao ser multiplicado por 3, resulta em 18 é y=6.

Uma solução da equação pode ser compreendida como a raiz de uma função.

Algumas equações matemáticas descrevem, na verdade, identidades matemáticas, isto é, afirmações que são verdadeiras para todos os valores de x, como nos exemplos:

x(x+5)=x²+5x

sen²x+cos²x=1

Entretanto, uma equação pode ter apenas alguns valores para os quais ela se torna verdadeira. Nesse caso, ela deve ser resolvida para se encontrar os valores possíveis para as incógnitas. Por exemplo, considere a equação:

X²-3x=0.

Ela é satisfeita para exatamente dois valores de  x, a saber,  x=0} x=0 e  x=3.

Em geral, os matemáticos reservam a palavra equação exclusivamente para igualdades que não são identidades. A distinção entre esses dois conceitos pode ser bastante sutil. Por exemplo:

(x+1)²=x²+2x+1

é uma identidade, mas:

(x+1)²=2x²+x+1

é uma equação cujas soluções são x = 0 e  x=1.

Em geral, é possível perceber se se trata de uma identidade ou de uma equação pelo contexto em que a igualdade se encontra. Em alguns casos, na identidade, o sinal de igualdade (=) é trocado pelo sinal (≡).

Fonte: Wikipédia

Veja também: Equações do 1º grau    e     Equações do 2º grau

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Matemática para concursos 2019

Resolvi organizar melhor as postagens do site para facilitar ainda mais para você.

Coloquei então todas as matérias como são pedidas nos concursos, Enem e IFES. E em ordem alfabética.

Caso você queira sugerir algo que facilite ainda mais pode sugerir

 

Matemática para concursos 2019

Álgebra

Área e perímetros de figuras planas

Área, volume e forma.

Arranjos e permutações

Cálculo de áreas e ou de volumes.

Combinações

Conceito de Função: Função Polinomial, Exponencial e Logarítmica.

Conjuntos numéricos (números naturais, inteiros, racionais e reais)

Conjuntos numéricos – operações e propriedades

Conversão de medidas

Descontos: Conceito; Desconto simples (ou bancário ou comercial); Desconto composto

Desigualdades

Divisão proporcional

Divisibilidade

Equações

Equações do 1º Grau

Equações do 2º grau

Equações irracionais

Expressões algébricas ou literais

Expressões numéricas

Fatores primos

Frações e operações com frações.

Funções do 1º e 2º graus

Funções do 1º e 2º graus – Problemas

Funções polinomiais do 1º e 2º graus.

Geometria básica

grandezas diretamente proporcionais, grandezas inversamente proporcionais

Grandezas e medidas – quantidade, tempo, comprimento, superfície, capacidade e massa;

Inequações de 1º Grau

Inequações do 2º grau

Juros Compostos

Juros Simples

Juros Simples, Juros Compostos, Montante e Desconto

Leitura de gráficos de barras ou colunas e tabelas simples.

Linguagem dos conjuntos; Representações de um conjunto, pertinência, inclusão, igualdade, união, interseção e complementação de conjuntos.

Lógica proposicional

Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Média aritmética simples e ponderada

Medidas de tempo, massa e temperatura

Medidas de tempo, massa e temperatura; perímetro, área; transformações de unidades de medida, sistema monetário.

Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.

MMC e MDC

Múltiplos e divisores de um número inteiro

Múltiplos e divisores de números naturais

Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, teorema de Pitágoras.

Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, ângulo, teorema de Pitágoras.

Noções de geometria plana – forma, área, perímetro e Teorema de Pitágoras

Números e grandezas diretamente e inversamente proporcionais

Números e grandezas proporcionais: razões e proporções

Números inteiros

Números irracionais

Números Naturais

Números racionais: operações e propriedades

Números racionais, representação fracionária e decimal: operações e propriedades.

Números reais

Números relativos inteiros e fracionários, operações e propriedades.

Operações com números naturais e fracionários: adição, subtração, multiplicação e divisão.

operações com conjuntos.

Operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros, racionais e reais)

Operações, propriedades e aplicações (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação).

Perímetro, área e volume

Porcentagem

Princípios de contagem

Probabilidade básica

Problemas do campo aditivo (adição e subtração) e multiplicativo (multiplicação e divisão)

Problemas e inequações do 2º grau

Produto cartesiano

Produtos notáveis

Progressão aritmética

Progressão geométrica

Razões e proporções

Regras de Três Simples e Compostas

Relação entre grandezas: tabelas, gráficos e fórmulas

Representação por diagramas: Diagramas de Venn (Diagramas Lógicos)

Resolução de situações-problema, envolvendo: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação ou radiciação com números racionais, nas suas representações fracionária ou decimal;

Sequências (com números, com figuras, de palavras)

Sequências numéricas

Sistema de amortização misto (SAM)

Sistema de equação do 1º grau

Sistema de equação do 2º Grau

Sistema de medidas: decimais e não decimais

Sistemas de medida de tempo.

Sistemas de medidas usuais

Sistemas Lineares

Sistema métrico decimal

Sistemas métricos: decimal e não decimal.

Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade.

Sistema monetário brasileiro: problemas

Sistema monetário brasileiro. Resolução de situações problema.

Sistemas de equações do 1º e 2º grau

Sistema de numeração decimal

Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente

Teoria dos conjuntos

Teoria dos conjuntos: as relações de pertinência, inclusão e igualdade

Tratamento da informação – média aritmética simples

Trigonometria

Volumes

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Sequências (com números, com figuras, de palavras)

Sequências (com números, com figuras, de palavras)

O raciocínio pode ser considerado um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.

Trazendo inúmeras possibilidades e várias abordagens, vamos nos deter hoje a um tema específico que é o Raciocínio Sequencial ou Lógica Sequencial ou até mesmo Sequências lógicas.

Álgebra

Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Isso significa que os conceitos e operações provenientes da aritmética (adição, subtração, multiplicação, divisão etc.) serão testados e sua eficácia será comprovada para todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos.

Nos estudos de álgebra, letras são utilizadas para representar números. Essas letras tanto podem representar números desconhecidos quanto um número qualquer pertencente a um conjunto numérico. Se x é um número par, por exemplo, então x pode ser 2, 4, 6, 8, 10,…. Dessa maneira, x é um número qualquer pertencente ao conjunto dos números pares e fica evidente o tipo de número que x é: um múltiplo de 2.

Propriedades das operações matemáticas:

1 – Associatividade

(x + y) + z = x + (y + z)

(x·y)·z = x·(y·z)

2 – Comutatividade

x + y = y + x

x·y = y·x

3 – Existência de elemento neutro (1 para a multiplicação e 0 para a adição)

x + 0 = x

x·1 = x

4 – Existência de elemento inverso

x + (– x) = 0

x· 1 = 1

5 – Distributividade (também chamada de propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição)

x·(y + z) = x·y + x·z

Essas cinco propriedades são válidas para todos os números reais x, y e z, uma vez que essas letras foram usadas para representar qualquer número real. Elas também são válidas para as operações adição e multiplicação.

Expressões algébricas

Na Matemática, expressão é a uma sequência de operações matemáticas realizadas com alguns números. Por exemplo: 2 + 3 – 7 é uma expressão numérica. Quando essa expressão envolve números desconhecidos (incógnitas), ela é chamada de expressão algébrica. Uma expressão algébrica que possui apenas um termo é chamada de monômio. Qualquer expressão algébrica que seja resultado de soma ou subtração entre dois monômios é chamada de polinômio.

Expressões algébricas, monômios e polinômios são exemplos de elementos pertencentes à álgebra, pois são constituídos a partir de operações realizadas com números desconhecidos. Lembre-se de que um número desconhecido pode representar qualquer número de um conjunto numérico.

Equações

Equações são expressões algébricas que possuem uma igualdade. Dessa forma, equação é um conteúdo da Matemática que relaciona números a incógnitas por intermédio de uma igualdade.

A presença da incógnita é o que classifica a equação como expressão algébrica. A presença da igualdade permite encontrar a solução de uma equação, isto é, o valor numérico da incógnita.

Exemplos

1) 2x + 4 = 0

2) 4x – 4 = 19 – 8x

3) 2×2 + 8x – 9 = 0

Funções

A definição formal de função é a seguinte: função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de um segundo conjunto.

Essa regra é matematicamente representada por uma expressão algébrica que possui uma igualdade, mas que relaciona incógnita a incógnita. Esta é a diferença entre função e equação: a equação relaciona uma incógnita a um número fixo; na função, a incógnita representa todo um conjunto numérico. Por esse motivo, dentro de funções, as incógnitas são chamadas de variáveis, já que elas podem assumir qualquer valor dentro do conjunto que representam.

Como envolve expressões algébricas, função é também um conteúdo pertencente à Álgebra, uma vez que as letras representam qualquer número pertencente a um conjunto de números qualquer.

Exemplo:

Considere a função y = x2, em que x é qualquer número real.

Nessa função, a variável x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais. Como a regra que liga os números representados por x aos números representados por y é uma operação matemática básica, então, y também representa números reais. O único detalhe a respeito disso é que y não pode representar um número real negativo nessa função, uma vez que y é resultado de uma potência de expoente 2, que sempre terá resultado positivo.

Fonte: Brasil escola, por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática

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diagramas lógicos

aritmética

geometria básica

Expressões algébricas ou literais

Expressões literais e algébricas

Expressões algébricas são expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números, são também denominadas expressões literais. As letras constituem a parte variável das expressões, pois elas podem assumir qualquer valor numérico. No passado as letras foram pouco utilizadas na representação de números desconhecidos, atualmente as letras associadas a números constituem a base da álgebra e contribui de forma eficiente na resolução de várias situações matemáticas. Veja alguns exemplos de expressões algébricas:

2x – 5

3a + 2y

x² + 7x

5 + x – (5x – 2)

10y – 10x

a² – 2ab + b²

Simplificação de Expressões Algébricas

►y + y + y = 3y —— pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes também.

►m – 7m = -6m —— pois os monômios são semelhantes (as letras são iguais e os seus expoentes também.

►5 . (x + 2) – 8 . x ——– utilizando a propriedade distributiva

5x + 10 – 8x———- 5x e 8x são monômios semelhantes

-3x + 10———como -3x e 10 não são semelhantes então não pode somar.

Concluímos que:

5 . (x + 2) – 8 . x = -3x + 10

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

Potenciação ou Radiciação

Multiplicação ou Divisão

Adição ou Subtração

Observações quanto à prioridade:

Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.

Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplos:

Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim

P = 2.5+10 = 10+10 = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28

Se A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.

Seja X=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:

X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22

Se A=5 e B=7, o valor numérico de X=4A+2+B-7, muda para 22.

Seja Y=18-C+9+D+8C, onde C= -2 e D=1. Então:

Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14

Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

Fontes: Brasil escola, Mundo Educação e Sercomtel

Relação entre grandezas: tabelas, gráficos e fórmulas – Parte 2

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS GRÁFICOS E TABELAS

 

1 – BB 2013 – Fundação Carlos Chagas

O supervisor de uma agência bancária obteve dois gráficos que mostravam o número de atendimentos realizados por funcionários. O Gráfico I mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários A e B, durante 2 horas e meia, e o Gráfico II mostra o número de atendimentos realizados pelos funcionários C, D e E, durante 3 horas e meia.

 

Observando os dois gráficos, o supervisor desses funcionários calculou o número de atendimentos, por hora, que cada um deles executou. O número de atendimentos, por hora, que o funcionário B realizou a mais que o funcionário C é:

(A) 4.

(B) 3.

(C) 10.

(D) 5.

(E) 6.

Resolução:

Funcionário B:

25 atendimentos / 2,5 horas = 10 clientes por hora

Funcionário C:

21 atendimentos / 3,5 horas = 6 clientes por hora

Diferença: 10 – 6 = 4

 

2- Prova Resolvida Sejus ES 2013 – Vunesp

Observe os gráficos e analise as afirmações I, II e III.

Procura por graduação aumenta ano a ano

Explosão do número de inscritos

I – Em 2010, o aumento percentual de matrículas em cursos tecnológicos, comparado com 2001, foi maior que 1000%.

II – Em 2010, houve 100,9 mil matrículas a mais em cursos tecnológicos que no ano anterior.

III. Em 2010, a razão entre a distribuição de matrículas no curso tecnológico presencial e à distância foi de 2 para 5.

 

É correto o que se afirma em

(A) I e II, apenas.

(B) II, apenas.

(C) I, apenas.

(D) II e III, apenas.

(E) I, II e III.

Divisibilidade

No final da postagem tem uma videoaula

Dica: Estou atualizando o Conteúdo Programático completo do ENEM e além disso, para você que não esta encontrando todo o conteúdo do Enem ou prefere estudar por apostilas dá uma olhada nesta apostilas para ENEM do site Apostilas Opção é bem interessante.

Bons estudos!

Divisibilidade

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Para que a divisão entre os números resulte em partes inteiramente iguais, necessitamos ter conhecimento sobre algumas regras de divisibilidade.

Regras de Divisibilidade

Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.

Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, isto é, todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.

12:2 = 6
18:2 = 9
102:2 = 51
1024:2 = 512
10256:2 = 5128

Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível por 3. Exemplo:

66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12
60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6
81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18

Divisibilidade por 4
Se os dois últimos algarismos de um número forem divisíveis por 4, então o número é divisível por 4. Para ver se os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4, basta verificar se o número é par e sua metade continua par. Os números que possuem zero nas suas últimas duas casas também são divisíveis por 4.

Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente – Parte 2

Taxas equivalentes 

São taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros compostos.

O conceito de taxas equivalentes está, portanto, diretamente ligado ao regime de juros compostos.

Assim, a diferença entre taxas equivalentes e taxas proporcionais se prende exclusivamente ao regime de juros considerado. As taxas proporcionais se baseiam em juros simples, e as taxas equivalentes se baseiam em juros compostos.

 

Taxas proporcionais 

são taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, produzem um mesmo montante acumulado no final daquele prazo, no regime de juros simples.

12% ao ano é proporcional a 6% ao semestre;

1% ao mês é proporcional a 12% ao ano.

 

Taxa real

taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.

Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto afirmar que o ganho real desta aplicação não foram os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período de tempo; desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a taxa real de juros.

 

Taxa aparente

taxa aparente é a taxa que se obtém numa operação financeira sem se considerar os efeitos da inflação.

Se a inflação for zero, a taxa aparente e a taxa real são iguais.

 

Taxa acumulada

taxa acumulada de juros com taxas variáveis é normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.

A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com taxas positivas ou com taxas negativas.

 

Taxa Over

taxa over equivalente é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão do mercado financeiro). Nas empresas, em geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento.

Esta prática ganhou maior importância principalmente no início dos anos 90. Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias úteis; entre elas temos as operações de CDIs – Certificados de Depósitos Interbancários.

 

Taxa média

taxa média de juros tem como base teórica o conceito estatístico da média geométrica.

Do ponto de vista da matemática financeira, podemos calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz enésima, tomando-se como base o número de termos do próprio conjunto de taxas.

Referências bibliográficas

BRANCO, Anísio Costa Castelo. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excelâ. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.

PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2004.

Esta matéria foi retirada de uma apostila da :

FACULDADE MAUÁ – FAMA  CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA FINANCEIRA PROFESSOR: JARBAS THAUNAHY

Na parte dois tem exercícios abaixo proposto pelo Professor Arruda e no final da postagem tem também duas videoaulas e uma apostila para download.

 

Exercícios sobre taxas de juros

(Proporcional, Nominal, Efetiva, Equivalente, Real e Aparente)

1) Qual a taxa de juros anual equivalente a 1% a. m.?

2) Determinar as taxas semestral e mensal, proporcionais à taxa de 24% ao ano.

3) Qual é a taxa proporcional ao ano de uma taxa de 3,5% ao trimestre?

4) Qual a melhor taxa para aplicação? 1% a.m ou 12% a.a

5) A taxa nominal ao ano de uma operação de empréstimo:

a) Nunca indica o real custo da operação de empréstimo.

b) Sempre indica o real custo da operação de empréstimo.

c) Indica o real custo da operação de empréstimo apenas se esta tiver prazo de um mês.

d) Índice o real custo da operação de empréstimo apenas se a freqüência de

capitalização for igual a 2.

6) Um capital de CR$ 200,00 foi aplicado a juros nominais de 28% ao ano capitalizados trimestralmente. Se o resgate for realizado após 7 meses, o montante será de ?

Use: (1,07)1/3 = 1,0228  /   (1,07)7/3 = 1,1709 / (1,0228)7 = 1,1709

7) Calcule a taxa efetiva semestral correspondente a uma taxa nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal ?

8) Determine a taxa efetiva trimestral correspondente a uma taxa nominal de 18% ao ano, com capitalização bimestral.

Use: (1,03)1,5 = 1,0453

9) Qual a taxa efetiva anual correspondente a uma taxa nominal de 6% ao ano, com capitalização mensal?

Use: (1,005)12 = 1,0617

10) Que taxa efetiva bimestral corresponde à taxa nominal de 9% ao trimestre, com capitalização mensal?

11) Considere uma empresa que precisa tomar um empréstimo de seis meses. A

melhor alternativa é:

a) 24% ao ano de taxa nominal com capitalização semestral

b) 23% ao ano de taxa nominal com capitalização trimestral

c) 22% ao ano de taxa nominal com capitalização bimensal

d) 21% ao ano de taxa nominal com capitalização mensal

12) José e Maria estão discutindo sobre fazer um investimento pelos próximos

180 dias corridos. José conseguiu com seu gerente uma taxa nominal anual de

12% ao ano capitalizada bimestralmente, enquanto que Maria conseguiu uma

taxa efetiva anual de 12% ao ano. Qual a melhor alternativa?

a) Devem aplicar no banco de José.

b) Devem aplicar no banco de Maria.

c) Tanto faz, as duas alternativas geram o mesmo rendimento.

d) Devem aplicar 50% em cada alternativa.

13) Duas taxas de juro são ditas equivalentes quando:

(i) são taxas de juro compostas e

(ii) quando aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo período geram mesmo valor de juro.

a) (i) e (ii) são afirmações verdadeiras

b) (i) e (ii) são afirmações falsas

c) (i) é verdadeira e (ii) é falsa

d) (i) é falsa e (ii) é verdadeira

Gabarito:

1) 12,68% 2) 12% a.s.  e  2% a.m. 3) 14% a.a.
4) 1% a.m 5) letra A 6) R$ 234,18 7) 12,62 % a.s.
8) 4,53 % a.t. 9) 6,17% a.a. 10) 6,09% a.b. 11) letra D
12) letra A 13) letra A ————————

 

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Para complementar seus estudos sobre cálculos financeiros:

1 Juros simples e compostos: capitalização e descontos.

2 Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente.

3 Planos ou sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos.

4 Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento.

Sistemas de equações do 1º e 2º grau

Sistema de equação do 1º grau

Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas (matemática, química, física, engenharia,…) e aparecem sempre em concursos e exames, como é o caso do vestibular. Os sistemas, geralmente, são resolvidos com uma certa facilidade o que causa muitas vezes uma desatenção, por parte do aluno, já que ele não tem dificuldade para encontrar a solução do sistema. Mas ele esquece que a dificuldade está na armação e principalmente na solução final da questão. Os sistemas são ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir com elas.

II – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.

1º) método da adição

Sistema de equação do 2º Grau

No final da postagem tem duas videoaulas. E você, qual o concurso você vai fazer? Deixe um comentário para mim, pois posso fazer postagens direcionadas para ele e te ajudar mais. Aproveita também para inscrever seu e-mail para receber conteúdos todos os dias.

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Bons estudos!

Sistema de equação do 2º Grau

Os sistemas de equações nada mais são do que estratégias que nos permitem resolver problemas e situações que envolvem mais de uma variável e pelo menos duas equações. Se as equações presentes no sistema envolverem apenas a adição e a subtração das incógnitas, dizemos que se trata de um sistema de equações do 1° grau. Podemos resolver esse sistema de duas formas, através da representação gráfica ou algebricamente. Na forma algébrica, dispomos de duas alternativas, o método da adição ou da substituição.

No caso de uma multiplicação entre as incógnitas ou, simplesmente, de uma delas aparecer como uma potência de expoente 2, dizemos que o sistema envolve também equações de 2° grau. Para resolver um sistema desse tipo, as estratégias são as mesmas citadas anteriormente, mas podem haver mais soluções nesse caso.

Exemplo 1

 

 

Isolando x ou y na 2ª equação do sistema:

Progressão geométrica

No final da postagem tem uma videoaula dividida em duas partes. Vale a pena assistir para reforçar o conteúdo.

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Bons estudos!

Progressão Geométrica (PG)

– Definição

Entenderemos por progressão geométrica –PG – como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominadarazão.

Exemplos:


(1,2,4,8,16,32, … ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, … ) PG de razão 1
(100,50,25, … ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, …) PG de razão -3

2 – Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, … , a n, … ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
…………………………………………
…………………………………………

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k

Exemplos:

Progressão aritmética

Progressão Aritmética (PA)

Conceito de Progressão Aritmética – PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, … ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, … ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, … ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, … ) razão = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA