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Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 5

Sistemas Lineares III

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss – astrônomo, matemático e físico alemão – 1777/1855.

O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:

T1 – um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do sistema.

Exemplo: os sistemas de equações lineares
2x + 3y = 10
5x – 2y = 6

5x – 2y = 6
2x + 3y = 10
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 4

Sistemas Lineares I

1 – Equação linear

Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, … , x, como sendo a equação da forma
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + … + an.xn = b onde a1, a2, a3, … an e b são números reais ou complexos.
a1, a2, a3, … an são denominados coeficientes e b, termo independente.

Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.

Exemplos de equações lineares:

2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)

3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)

2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)

Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 3

Matrizes e Determinantes II

1 – Definições:

1.1 – Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3×3) A a seguir :

Podemos escrever:
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:

Matrizes, determinantes e sistemas lineares – Parte 2

DETERMINANTES

Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras específicas .

É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante .

Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

  • O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :
  • det (A) = ½ A½ = ad – bc

Representação por diagramas: Diagramas de Venn (Diagramas Lógicos)

Representação por diagramas: Diagramas de Venn (Diagramas Lógicos)

Os diagramas são utilizados como uma representação gráfica de proposições relacionadas a uma questão de raciocínio lógico. Esse tema é muito cobrado em provas que tenha por matéria raciocínio lógico para concursos, em questões que envolvem o termo “todo”, “algum” e “nenhum”.

Conjunto: Um conjunto constitui-se em um número de objetos ou números com características semelhantes. Podem ser classificados assim:

Conjunto finito: possui uma quantidade determinada de elementos;

Conjunto infinito: como o próprio nome diz nesse caso temos um número infinito de elementos;

Conjunto unitário: apenas um elemento;

Conjunto Vazio: sem elemento no conjunto;

Conjunto Universo: esse caso tem todos os elementos de uma situação.

Esses elementos podem ser demonstrados da seguinte forma:

Extensão: Os elementos são separados por chaves; {1,2,3,4…}

Compreensão: Escreve-se a caraterística em questão do conjunto mencionado.

Diagrama de Venn: Os elementos são inseridos em uma figura fechada e aparecem apenas uma vez.

Todo A é B: Nesse caso o conjunto A é um subconjunto do B, sendo que A está contido em B.

diagrama todo raciocínio

Nenhum A é B: Nesse caso os dois conjuntos não tem elementos comuns.

diagrama nenhum raciocínio

Algum A é B: Esse diagrama representa a situação em que pelo menos um elemento de A é comum ao elemento de B.

diagrama algum raciocínio

Inclusão

Todo, toda, todos, todas.

Interseção

Algum, alguns, alguma, algumas.

Ex: Todos brasileiros são bons motoristas

Negação lógica: Algum brasileiro não é bom motorista.

Disjunção

Nenhum A é B.

Ex: Algum brasileiro não é bom motorista.

Negação lógica: Nenhum brasileiro é bom motorista.

Exercícios de Diagramas Lógicos

Questão 1: VUNESP/2011 – Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)

Pergunta: Neste grupo de pessoas, usar só chapéu ou só relógio, nem pensar. Tampouco usar óculos, chapéu e relógio ao mesmo tempo. Quinze pessoas usam óculos e chapéu ao mesmo tempo. Usam chapéu e relógio, simultaneamente, o mesmo número de pessoas que usam apenas os óculos. Uma pessoa usa óculos e relógio ao mesmo tempo. Esse grupo é formado por 40 pessoas e essas informações são suficientes para afirmar que nesse grupo o número de pessoas que usam óculos é

a) 20

b) 22

c) 24

d) 26

e) 28

Questão 2: VUNESP/2011 – Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)

Pergunta: Observe o seguinte diagrama. De acordo com o diagrama,pode-se afirmar que

exercício Vunesp

a) todos os músicos são felizes.

b) não há cantores que são músicos e felizes.

c) os cantores que não são músicos são felizes.

d) os felizes que não são músicos não são cantores.

e) qualquer músico feliz é cantor.

Questão 3: VUNESP/2011- Concurso TJM-SP – Analista de Sistemas (Judiciário)

Pergunta: Todo PLATZ que não é PLUTZ é também PLETZ. Alguns PLATZ que são PLETZ também são PLITZ. A partir dessas afirmações, pode-se concluir que

a) alguns PLITZ são PLETZ e PLATZ.

b) existe PLATZ que não é PLUTZ nem é PLETZ

c) não existe PLUTZ que é apenas PLUTZ.

d) todo PLITZ é PLETZ.

e) existe PLITZ que é apenas PLITZ.

Questão 4: ESAF/2012 – Concurso CGU – Analista de Finanças e Controle (Prova 1)

Pergunta: Em um grupo de 120 empresas, 57 estão situadas na Região Nordeste, 48 são empresas familiares, 44 são empresas exportadoras e 19 não se enquadram em nenhuma das classificações acima. Das empresas do Nordeste, 19 são familiares e 20 são exportadoras. Das empresas familiares, 21 são exportadoras. O número de empresas do Nordeste que são ao mesmo tempo familiares e exportadoras é

a) 21

b) 14

c) 16

d) 19

e) 12

Questão 5: FCC/2012 – Concurso TCE-SP – Analista de Fiscalização Financeira (Administração)

Pergunta: Todos os jogadores são rápidos. Jorge é rápido. Jorge é estudante. Nenhum jogador é estudante. Supondo as frases verdadeiras pode-se afirmar que

a) a intersecção entre o conjunto dos jogadores e o conjunto dos rápidos é vazia.

b) a intersecção entre o conjunto dos estudantes e o conjunto dos jogadores não é vazia.

c) Jorge pertence ao conjunto dos jogadores e dos rápidos.

d) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos estudantes e o conjunto dos rápidos.

e) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos jogadores e o conjunto dos rápidos.

Questão 6: CESPE/2011 – Concurso PC-ES – Cargos de Nível Superior

Pergunta: Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. A partir dessas informações, julgue o item seguinte. Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunicação online nem das penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto concluir que 135 pessoas não tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questões.

Certo

Errado

Resposta dos Exercícios

Questão 1

São 40 acessórios, mas há apenas informações de 16 deles. Sobram 24. Como o número de pessoas que usa apenas óculos é o mesmo que usa chapéu e relógio, 12 pessoas utilizam chapéu e óculos e a outra metade apenas óculos.

Resumindo:

  • Óculos e Chapéu= 15
  • Chapéu e Relógio=12
  • Só óculos=12
  • Óculos e Relógio=1

Total= 40

-Quantos usam óculos: 15+12+1=28

Questão 2

-Como pode ser visto no diagrama, parte dos felizes não são músicos nem cantores.

Questão 3

Proposições:

  • Todo Platz que não é Plutz é também Pletz. Ou seja, Platz e Pletz são duas coisas ao mesmo tempo.
  • Alguns Platz também são Plitz. Ou seja, o Plitz pode ser Platz, mas isso não é uma regra geral.
  • A letra E é falsa porque não existe delimitação para o conjunto Plitz e ele não fica sozinho;
  • A letra B também está errada porque afima que existe Platz que não é Plutz nem é Pletz. Mas a afirmação do enunciado garante que “Todo Platz que não é Plutz é também Pletz.”
  • A letra C está incorreta porque essa afirmação não é dita em nenhum momento do enunciado.
  • A letra D está incorreta porque não há uma regra em relação a isso também.

Questão 4

Dados do enunciado:

  • O grupo tem 120 empresas;
  • Como ele disse que 19 empresas não se encaixam nesses grupos, pode-se concluir que pelo menos 101 empresas se encaixam em algum desses itens;

diagrama de exercícios

  • São 20 exportadoras dentre as empresas do nordeste: 20-x;
  • 19 empresas são familiares: 19-x;
  • Das empresas familiares 21 são exportadoras: 21-x;

diagrama exercício 4

Sabendo-se que o Norrdeste tem 57 elementos, o azul 48 e o verde 44 pode-se criar um diagrama como no exemplo abaixo:

elementos do diagrama

(18+x+19-x+x+20-x) +8+x+21-x+3+x=101

57+8+x+21-x+3+x=101

x+89=101 x=12

Questão 5

Ao analisar as informações dadas pode-se concluir que Jorge não pertence ao grupo de jogadores e sim ao conjunto compreendido entre os rápidos e estudantes.

Questão 6

resposta exercício 6

  • Pessoas que não sabiam do sistema e nem das penalidades=10
  • Retire essas 10 pessoas do número fornecido pelo enunciado para aquelas que não sabiam do sistema=60
  • O resultado é 135, pois ao somarmos 60+85-10=135.
Gabarito das Questões Resposta Certa
Questão 1 Letra E
Questão 2 Letra D
Questão 3 Letra A
Questão 4 Letra E
Questão 5 Letra E
Questão 6 Certa

Fonte: OK Concursos

Para complementar  o assunto de Princípios de raciocínio lógico recomendo os links abaixo:

Princípios do raciocínio lógico: conectivos lógicos; diagramas lógicos; lógica de argumentação; interpretação de informações de natureza matemática; probabilidade.

 

Preposição – Parte 1

PREPOSIÇÃO

Preposição é a palavra que estabelece uma relação entre dois ou mais termos da oração. Essa relação é do tipo subordinativa, ou seja, entre os elementos ligados pela preposição não há sentido dissociado, separado, individualizado; ao contrário, o sentido da expressão é dependente da união de todos os elementos que a preposição vincula.

Exemplos:

  1. Os amigos de João estranharam o seu modo de vestir.

    amigos de João / modo de vestir: elementos ligados por preposição

    de: preposição

  2. Ela esperou com entusiasmo aquele breve passeio.

    esperou com entusiasmo: elementos ligados por preposição

    com: preposição

Preposição – Parte 2

p2

Locução Prepositiva

É o conjunto de duas ou mais palavras que têm o valor de uma preposição. A última palavra dessas locuções é sempre uma preposição.

Principais locuções prepositivas:

abaixo de acima de acerca de
a fim de além de a par de
apesar de antes de depois de
ao invés de diante de em fase de
em vez de graças a junto a
junto com junto de à custa de
defronte de através de em via de
de encontro a em frente de em frente a
sob pena de a respeito de ao encontro de


Combinação e Contração da Preposição

Quando as preposições a, de, em e per unem-se a certas palavras, formando um só vocábulo, essa união pode ser por:

Combinação: ocorre quando a preposição, ao unir-se a outra palavra, mantém todos os seus fonemas.

Por exemplo: preposição a + artigo masculino o = ao
preposição a + artigo masculino os = aos

Contração: ocorre quando a preposição sofre modificações na sua estrutura fonológica ao unir-se a outra palavra. As preposições de e em, por exemplo, formam contrações com os artigos e com diversos pronomes. Veja:

do dos da das
num nuns numa numas
disto disso daquilo
naquele naqueles naquela naquelas

Observe outros exemplos:

em + a = na
em + aquilo = naquilo

de + aquela = daquela
de + onde = donde

Obs.: as formas pelo, pela, pelos, pelas resultam da contração da antiga preposição per com os artigos definidos.

Por exemplo:

per + o = pelo

Encontros Especiais

A contração da preposição a com os artigos ou pronomes demonstrativos a, as ou com o ainicial dos pronomes aquele, aqueles, aquela, aquelas, aquilo resulta numa fusão de vogais a que se chama de crase – que deve ser assinalada na escrita pelo uso do acento grave.

Reforma, contrarreforma e Renascimento cultural

Reforma, contrarreforma e Renascimento cultural

O esplendor intelectual alcançado pelos humanistas contribuiu para o surgimento da Reforma, movimento de rebelião contra a Igreja Católica que convulsionou o centro da Europa ao longo do século XVI. O detonador da ruptura da unidade religiosa européia foi o alemão Martinho Lutero, ao colocar nas portas da igreja do castelo de Wittenberg, em 1517, suas famosas 95 teses, nas quais atacava, entre outros problemas, a venda de indulgências pelos papas.Resultado de imagem para martinho lutero

A atitude de Lutero não foi um fato isolado nem circunstancial e sim a resposta a uma época de crise. A Reforma coincidiu com um profundo descontentamento econômico, o desprestígio da hierarquia eclesiástica, a propagação de correntes místicas, os contínuos conflitos bélicos e uma desorientação espiritual generalizada. Era evidente, sobretudo para o clero germânico, a necessidade de uma reforma que devolvesse à igreja a essência do cristianismo.

O luteranismo, que rechaçava ainda a autoridade do papa, a maioria dos sacramentos e o culto à Virgem e defendia a livre interpretação da Bíblia e a prioridade da fé sobre os atos como meio de salvação, não tardou a propagar-se por todo o norte e centro da Europa, sobretudo entre a nobreza.

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A reação católica teve como seu primeiro protagonista o imperador Carlos V , obstinado na luta contra os protestantes e na busca da unidade religiosa. Apesar da vitória imperial na batalha de Mühlberg em 1547, o resultado final foi a assinatura da Paz de Augsburgo em 1555, que confirmou a ruptura entre católicos e protestantes. A Igreja Católica buscou, além disso, combater a Reforma mediante a chamada Contra-Reforma, movimento de reação que se apoiou no Concílio de Trento (1545-1563) e na Companhia de Jesus. O concílio reafirmou os dogmas católicos atacados por Lutero, fortaleceu a hierarquia eclesiástica e estimulou o ensino da religião. Por sua vez, a Companhia de Jesus, ordem religiosa fundada em 1534 pelo espanhol Ignácio de Loyola, propôs-se a difundir, sob as ordens do papa, a doutrina católica por todo o mundo; para tanto

Figuras de linguagem

Linguagem figurada ou figuras de linguagem:

Figuras de linguagemfiguras de estilo ou figuras de retórica são estratégias que o orador (ou escritor) pode aplicar ao texto para conseguir um determinado efeito na interpretação do ouvinte (ou leitor). Podem relacionar-se com aspectos semânticos, fonológicos ou sintáticos das palavras afetadas.

Dentro de um grupo social há vários modos de se usar a Língua Portuguesa. Dentre eles, há um que se institui como língua padrão, e que corresponde ao modo de falar das pessoas mais instruídas, mais cultas dentro do grupo social. É a partir do uso da língua padrão que gramática estabelece as normas daquilo que seria falar ou escrever corretamente,ou seja, as normas da língua culta.

Correspondência oficial – PARTE 1

Correspondência oficial (conforme Manual de Redação da Presidência da República)

Padrão Ofício.

Veremos neste artigo os aspectos gerais da redação oficial como os pronomes de tratamento, signatários, grafias de cargos compostos, vocativo e finalmente o padrão ofício. Todo o conteúdo foi retirado direto do Manual de Redação da Presidência da República.

 

ATENÇÃO: Fiz algumas observações baseadas em questões recentes de concursos (2020/2019), então sugiro ler o texto até o seu final.

Correspondência Oficial: Padrão Ofício – Questões de concursos

Caso preferir, no vídeo abaixo tem esta postagem em áudio e vídeo

ASPECTOS GERAIS DA REDAÇÃO OFICIAL

Cultura Material e imaterial; patrimônio e diversidade cultural no Brasil

Cultura Material e imaterial; patrimônio e diversidade cultural no Brasil

Patrimônio Cultural pode ser definido como um bem (ou bens) de natureza material e imaterial considerado importante para a identidade da sociedade brasileira.

Carnaval com bonecos gigantes faz parte do Patrimônio Imaterial.

O Patrimônio Cultural pode ser definido como um bem (ou bens) de natureza material e imaterial considerado importante para a identidade da sociedade brasileira.

Segundo artigo 216 da Constituição Federal, configuram patrimônio “as formas de expressão; os modos de criar; as criações científicas, artísticas e tecnológicas; as obras, objetos, documentos, edificações e demais espaços destinados às manifestações artístico-culturais; além de conjuntos urbanos e sítios de valor histórico, paisagístico, artístico, arqueológico, paleontológico, ecológico e científico.”

No Brasil, o Instituto do Patrimônio Histórico e Artístico Nacional (Iphan) é responsável por promover e coordenar o processo de preservação e valorização do Patrimônio Cultural Brasileiro, em suas dimensões material e imaterial.

Os bens culturais imateriais estão relacionados aos saberes, às habilidades, às crenças, às práticas, ao modo de ser das pessoas. Desta forma podem ser considerados bens imateriais: conhecimentos enraizados no cotidiano das comunidades; manifestações literárias, musicais, plásticas, cênicas e lúdicas; rituais e festas que marcam a vivência coletiva da religiosidade, do entretenimento e de outras práticas da vida social; além de mercados, feiras, santuários, praças e demais espaços onde se concentram e se reproduzem práticas culturais.

Na lista de bens imateriais brasileiros estão a festa do Círio de Nossa Senhora de Nazaré, a Feira de Caruaru, o Frevo, a capoeira, o modo artesanal de fazer Queijo de Minas e as matrizes do Samba no Rio de Janeiro.

O patrimônio material é formado por um conjunto de bens culturais classificados segundo sua natureza: arqueológico, paisagístico e etnográfico; histórico; belas artes; e das artes aplicadas. Eles estão divididos em bens imóveis – núcleos urbanos, sítios arqueológicos e paisagísticos e bens individuais – e móveis – coleções arqueológicas, acervos museológicos, documentais, bibliográficos, arquivísticos, videográficos, fotográficos e cinematográficos.

Entre os bens materiais brasileiros estão os conjuntos arquitetônicos de cidades como Ouro Preto (MG), Paraty (RJ), Olinda (PE) e São Luís (MA) ou paisagísticos, como Lençóis (BA), Serra do Curral (Belo Horizonte), Grutas do Lago Azul e de Nossa Senhora Aparecida (Bonito, MS) e o Corcovado (Rio de Janeiro).

Fonte: Iphan

Dica: Estou atualizando o Conteúdo Programático completo do ENEM e além disso, para você que não esta encontrando todo o conteúdo do Enem ou prefere estudar por apostilas dá uma olhada nesta apostilas para ENEM do site Apostilas Opção é bem interessante.