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Categoria: Raciocínio Lógico

Estruturas lógicas – Parte 2

2.2 Conectivo “ou”, denominado disjunção cujo símbolo é a letra : v ou v

Em relação à disjunção, faz-se necessária uma subdivisão em nosso estudo, dado que existe a disjunção inclusiva e a disjunção exclusiva. A primeira simbolizada por v e a segunda por v. A proposição composta p ou q é chamada disjunção inclusiva de P com Q e simbolizada por P v Q. A proposição composta ou P ou Q é chamada disjunção exclusiva de P com Q e é representada por P v Q.

Mas afinal qual a diferença entre a inclusão e a exclusão?

Observemos as seguintes proposições:

a) Trabalho ou estudo.

b) Ou trabalho ou estudo.

As duas proposições acima são muito parecidas, mas a primeira denota uma inclusão e a segunda uma exclusão. Entenderemos o porquê.

Na frase 1, apesar de ter feito uso do conectivo ou, posso até fazer as duas coisas, não há impedimento. Trata-se de uma inclusão. Já na sentença 2, a repetição do conectivo ou, fez mudar o sentido da proposição, uma vez que excluiu a possibilidade dos dois fatos ocorrerem.

Tautologias, Contradições e Contingências

Tautologias, Contradições e Contingências

Tautologia

Tautologia é uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro.

Exemplo :

A proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, conforme a tabela-verdade.

 

 

 

A proposição (p Λ q) → (p → q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V.

 

 

 

Contradição

Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.

A proposição p Λ (~p) é contraválida,pois os resultados com verdadeiro e falso sempre dão falso no final da coluna.

 

 

A proposição ~(p ν q) Λ (p Λ q) é contraválida, pois a última coluna da tabela-verdade só possui F.

 

 

 

 

Contingência

Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição indeterminada.

Volumes

Volume

 

Volume de um sólido é a quantidade de espaço que esse sólido ocupa. Nesse cálculo, temos que ressaltar as três dimensões do sólido, observando o seu formato. O entendimento de volume é usado, mesmo que intuitivamente, em nossas ações no dia-a-dia, por exemplo: antes de estacionar um carro, calculamos mentalmente o espaço do carro e verificamos se tal espaço é compatível com as dimensões do carro, ao instalar uma TV em um móvel, conferimos, primeiro, se o espaço disponível pode comportar a TV, entre outros exemplos.

Premissa e Conclusão

Premissa e Conclusão

Para entender o que é uma premissa e uma conclusão devemos entender sobre argumentos.

Para compreender o que é um argumento vamos começar por ver o seguinte exemplo:

 João — Este quadro é horrível! É só traços e cores! Até eu fazia isto!

Adriana — Concordo que não é muito bonito, mas nem toda a arte tem de ser bela.

João — Não sei… por que razão dizes isso?

Adriana — Porque nem tudo o que os artistas fazem é belo.

João — E depois? É claro que nem tudo o que os artistas fazem é belo, mas daí não se segue nada.

Argumentos válidos

Argumentos válidos

A visão de que a Lógica é a ciência que estuda o raciocínio se deve à sua aplicação clássica na Grécia antiga. Na argumentação os elementos fundamentais são denominados de argumentos, ou como veremos neste tópico esquemas de argumentos. O papel da lógica é exatamente desvendar o que torna um argumento válido ou inválido.

A classificação de argumentos em válidos ou não é uma tarefa de extrema importância para distinguirmos quais deles estão relacionados a verdades no mundo(ainda que relativas).Tais argumentos chamamos usualmente de argumentos lógicos.

Alguns exemplos de argumentos lógicos são apresentados a seguir.

Exemplo 1:

  1. Se a demanda aumentar, então a empresa se expande
  2. Se as empresas se expandem, então elas empregam trabalhadores
  3. Se a demanda aumentar, então as empresas empregam trabalhadores

Exemplo 2:

  1. Todos os peixes são mamíferos.
  2. Moby Dick é um peixe
  3. Moby Dick é um mamífero

ARGUMENTOS LÓGICOS

Esses argumentos têm duas premissas e uma conclusão. Quem quer que aceite as premissas como sendo verdadeiras terá de aceitar que suas conclusões também são verdadeiras. Neste caso nós dizemos em lógica que a conclusão é uma consequência lógica das premissas. É difícil imaginar uma situação em que as premissas sendo verdadeiras não se tenha a conclusão como sendo também verdadeira. Entretanto, isso não quer dizer que o argumento lógico seja válido. Consideremos o seguinte exemplo.

Um argumento lógico que não é válido.

  1. Todos os cavalos são mamíferos.
  2. Todos os cavalos são vertebrados.
  3. Todos os mamíferos são vertebrados.

Neste exemplo, ambos, premissas e conclusão são fatos verdadeiros, mas isto não torna o argumento válido. Podemos falsificar o argumento se pegarmos um tipo de mamífero que não seja vertebrado por algum fator de evolução genética. Se formos transcrever esse argumento no seu diagrama de Euler-Venn para conjuntos, tomando o conjunto universo como sendo o dos animais, teremos um diagrama de acordo com o da Figura 2.1. Note que nada se pode afirmar, analisando as premissas do argumento, que vertebrados são um subconjunto do conjunto dos mamíferos e vice-versa. Apenas podemos visualizar que existe uma interseção entre ambos os conjuntos pois nas premissas fica claro que o conjunto dos cavalos é um subconjunto dos vertebrados e também dos mamíferos.

 

 

 

 

 

 

Figura 2.1: Diagrama de Venn para o argumento de Mamíferos e Vertebrados.

Mesmo assumindo como verdade universal que todo mamífero seja um vertebrado, as premissas se referem à relação entre cavalos e propriedades dos animais. Não há uma sentença no argumento ou um encadeamento de sentenças que associe o conjunto dos mamíferos com o dos vertebrados. Logo, não podemos inferir nenhuma relação entre as propriedades apenas com base na relação de pertinência entre uma classe de animais e estas.

ESQUEMAS DE ARGUMENTOS

Isso significa que do ponto de vista da linguagem, não existe uma relação de rivalidade entre as sentenças. E esta, por sua vez, está relacionada com a consequência lógica entre os fatos expressados pelas sentenças.

O que podemos concluir disto é que deve haver uma relação entre a linguagem que usamos para expressar um argumento e o que esses argumentos representam em relação ao mundo real. Esta relação é provida pela semântica da linguagem como mostra a Figura 2.2. Note que, a propriedade de um fato ser uma consequência lógica de outro fato no mundo real é espelhado na linguagem pela propriedade de uma sentença ser derivada de outra através de algum método de derivação ou cálculo.

 

 

 

 

 

 

Figura 2.2: Conexão entre sentenças de uma linguagem e fatos se dá pela semântica.

Um formalismo ou um cálculo que possa processar tal tarefa de forma automática deve oferecer mecanismos que nos possibilitem identificar as estruturas básicas desses argumentos. Tais estruturas são utilizadas para construirmos esquemas de argumentos e portanto podemos testar a validade dos mesmos como veremos a seguir.

ESQUEMAS DE ARGUMENTOS

Aristóteles foi um dos primeiros (se não o primeiro) a propor um método para representar padrões de raciocínio de forma que pudéssemos testar a consistência dos mesmos. Avaliando argumentos como o do Exemplo 1 ele observou que estes são na realidade uma composição de frases ou declarações, ou ainda proposições.

A frase “Se a demanda aumentar, então a empresa se expande” tem duas partes 1) “demanda aumentar” e 2) “empresa se expande”. Ambas as proposições são conectadas pelas palavras “Se” e “então”. No caso do Exemplo 3, as frases “A RL está mal configurada” e “o provedor Internet está desligado” são conectados pela palavra “ou”. A essas sentenças menores denominamos de proposições atômicas.

Argumentos como estes podem ser representados de forma esquemática se substituirmos as frases por variáveis proposicionais. No Exemplo 1, chamemos de P a primeira parte das proposições e Q a segunda e a frase “as empresas empregam trabalhadores” de R. Então podemos escrever o esquema:

Se P então Q.

Se Q então R.

__________

Se P então R.

Fonte: Lógica matemática

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proposições,   conectivos,   equivalência e implicação lógica

Equivalência e implicação lógica

Equivalência e implicação lógica

 

Implicação Lógica

Relembrando a operação lógica da condicional p→q (lê-se: se p então q)

Você está lembrado quando estudamos as proposições condicionais e utilizamos o símbolo → ? Vamos recordar!

Na condicional p→q, p é chamado de antecedente e q é o consequente. O símbolo “→” é chamado símbolo de implicação. Note que, neste caso, p e q são proposições simples.

O símbolo → representa uma operação matemática entre as proposições p e q que tem como resultado a proposição p → q, como valor lógico V ou F.

Sequências (com números, com figuras, de palavras)

Sequências (com números, com figuras, de palavras)

O raciocínio pode ser considerado um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.

Trazendo inúmeras possibilidades e várias abordagens, vamos nos deter hoje a um tema específico que é o Raciocínio Sequencial ou Lógica Sequencial ou até mesmo Sequências lógicas.

Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões

Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões

 

Lógica da argumentação

A argumentação é a forma como utilizamos o raciocínio para convencer alguém de alguma coisa. Esta argumentação deve ser baseada em argumentos aceitáveis baseado em informações disponíveis. A lógica da argumentação verifica se os argumentos são válidos mesmo que a solução pareça absurda.

A base da Lógica de Argumentação é a proposição, que nada mais é que do que pode ser verdadeiro ou falso.

Álgebra

Álgebra é o ramo da Matemática que generaliza a aritmética. Isso significa que os conceitos e operações provenientes da aritmética (adição, subtração, multiplicação, divisão etc.) serão testados e sua eficácia será comprovada para todos os números pertencentes a determinados conjuntos numéricos.

Nos estudos de álgebra, letras são utilizadas para representar números. Essas letras tanto podem representar números desconhecidos quanto um número qualquer pertencente a um conjunto numérico. Se x é um número par, por exemplo, então x pode ser 2, 4, 6, 8, 10,…. Dessa maneira, x é um número qualquer pertencente ao conjunto dos números pares e fica evidente o tipo de número que x é: um múltiplo de 2.

Propriedades das operações matemáticas:

1 – Associatividade

(x + y) + z = x + (y + z)

(x·y)·z = x·(y·z)

2 – Comutatividade

x + y = y + x

x·y = y·x

3 – Existência de elemento neutro (1 para a multiplicação e 0 para a adição)

x + 0 = x

x·1 = x

4 – Existência de elemento inverso

x + (– x) = 0

x· 1 = 1

5 – Distributividade (também chamada de propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição)

x·(y + z) = x·y + x·z

Essas cinco propriedades são válidas para todos os números reais x, y e z, uma vez que essas letras foram usadas para representar qualquer número real. Elas também são válidas para as operações adição e multiplicação.

Expressões algébricas

Na Matemática, expressão é a uma sequência de operações matemáticas realizadas com alguns números. Por exemplo: 2 + 3 – 7 é uma expressão numérica. Quando essa expressão envolve números desconhecidos (incógnitas), ela é chamada de expressão algébrica. Uma expressão algébrica que possui apenas um termo é chamada de monômio. Qualquer expressão algébrica que seja resultado de soma ou subtração entre dois monômios é chamada de polinômio.

Expressões algébricas, monômios e polinômios são exemplos de elementos pertencentes à álgebra, pois são constituídos a partir de operações realizadas com números desconhecidos. Lembre-se de que um número desconhecido pode representar qualquer número de um conjunto numérico.

Equações

Equações são expressões algébricas que possuem uma igualdade. Dessa forma, equação é um conteúdo da Matemática que relaciona números a incógnitas por intermédio de uma igualdade.

A presença da incógnita é o que classifica a equação como expressão algébrica. A presença da igualdade permite encontrar a solução de uma equação, isto é, o valor numérico da incógnita.

Exemplos

1) 2x + 4 = 0

2) 4x – 4 = 19 – 8x

3) 2×2 + 8x – 9 = 0

Funções

A definição formal de função é a seguinte: função é uma regra que relaciona cada elemento de um conjunto a um único elemento de um segundo conjunto.

Essa regra é matematicamente representada por uma expressão algébrica que possui uma igualdade, mas que relaciona incógnita a incógnita. Esta é a diferença entre função e equação: a equação relaciona uma incógnita a um número fixo; na função, a incógnita representa todo um conjunto numérico. Por esse motivo, dentro de funções, as incógnitas são chamadas de variáveis, já que elas podem assumir qualquer valor dentro do conjunto que representam.

Como envolve expressões algébricas, função é também um conteúdo pertencente à Álgebra, uma vez que as letras representam qualquer número pertencente a um conjunto de números qualquer.

Exemplo:

Considere a função y = x2, em que x é qualquer número real.

Nessa função, a variável x pode assumir qualquer valor dentro do conjunto dos números reais. Como a regra que liga os números representados por x aos números representados por y é uma operação matemática básica, então, y também representa números reais. O único detalhe a respeito disso é que y não pode representar um número real negativo nessa função, uma vez que y é resultado de uma potência de expoente 2, que sempre terá resultado positivo.

Fonte: Brasil escola, por Luiz Paulo Moreira Graduado em Matemática

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diagramas lógicos

aritmética

geometria básica

Progressão geométrica

No final da postagem tem uma videoaula dividida em duas partes. Vale a pena assistir para reforçar o conteúdo.

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Bons estudos!

Progressão Geométrica (PG)

– Definição

Entenderemos por progressão geométrica –PG – como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominadarazão.

Exemplos:


(1,2,4,8,16,32, … ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, … ) PG de razão 1
(100,50,25, … ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, …) PG de razão -3

2 – Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, … , a n, … ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2
a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3
…………………………………………
…………………………………………

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k

Exemplos:

Progressão aritmética

Progressão Aritmética (PA)

Conceito de Progressão Aritmética – PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, … ) razão = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, … ) razão = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, … ) razão = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, … ) razão = -10 ( PA decrescente)

Termo Geral de uma PA